ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(a^2 + b^2 + 1 > ab + b + a\).

Для доказательства неравенства \(a^2 + b^2 + 1 \ge ab + b + a\) используем свойство неотрицательности квадрата действительного числа.

Рассмотрим три базовых неравенства:
1. Из \((a — 1)^2 \ge 0\) следует \(a^2 — 2a + 1 \ge 0\), что можно переписать как \(a^2 + 1 \ge 2a\).
2. Из \((b — 1)^2 \ge 0\) следует \(b^2 — 2b + 1 \ge 0\), что можно переписать как \(b^2 + 1 \ge 2b\).
3. Из \((a — b)^2 \ge 0\) следует \(a^2 — 2ab + b^2 \ge 0\), что можно переписать как \(a^2 + b^2 \ge 2ab\).

Сложим почленно все три полученных неравенства:
\((a^2 + 1) + (b^2 + 1) + (a^2 + b^2) \ge 2a + 2b + 2ab\)
Объединим подобные члены в левой части:
\(2a^2 + 2b^2 + 2 \ge 2a + 2b + 2ab\)
Разделим обе части неравенства на 2:
\(a^2 + b^2 + 1 \ge a + b + ab\)
Таким образом, исходное неравенство доказано.

Доказать неравенство: \(a^2 + b^2 + 1 \ge ab + b + a\).

1) Первое неравенство:
Начнем с базового свойства, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Рассмотрим выражение \((a — 1)^2\).
\((a — 1)^2 \ge 0\)
Раскрывая скобки по формуле квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\), где \(x = a\) и \(y = 1\), получаем:
\(a^2 — 2a \cdot 1 + 1^2 \ge 0\)
\(a^2 — 2a + 1 \ge 0\)
Перенесем член \(-2a\) в правую часть неравенства, изменив его знак:
\(a^2 + 1 \ge 2a\)

2) Второе неравенство:
Аналогично первому пункту, рассмотрим выражение \((b — 1)^2\). Квадрат любого действительного числа также неотрицателен:
\((b — 1)^2 \ge 0\)
Раскрывая скобки по формуле квадрата разности, где \(x = b\) и \(y = 1\), получаем:
\(b^2 — 2b \cdot 1 + 1^2 \ge 0\)
\(b^2 — 2b + 1 \ge 0\)
Перенесем член \(-2b\) в правую часть неравенства, изменив его знак:
\(b^2 + 1 \ge 2b\)

3) Третье неравенство:
Рассмотрим выражение \((a — b)^2\). Квадрат любого действительного числа неотрицателен:
\((a — b)^2 \ge 0\)
Раскрывая скобки по формуле квадрата разности, где \(x = a\) и \(y = b\), получаем:
\(a^2 — 2ab + b^2 \ge 0\)
Перенесем член \(-2ab\) в правую часть неравенства, изменив его знак:
\(a^2 + b^2 \ge 2ab\)

4) Сложим почленно неравенства:
Теперь сложим левые части неравенств, полученных в пунктах 1, 2 и 3, и правые части этих неравенств.
Сложим \(a^2 + 1 \ge 2a\), \(b^2 + 1 \ge 2b\) и \(a^2 + b^2 \ge 2ab\):
\((a^2 + 1) + (b^2 + 1) + (a^2 + b^2) \ge 2a + 2b + 2ab\)
Объединим подобные члены в левой части:
\(a^2 + b^2 + a^2 + b^2 + 1 + 1 \ge 2a + 2b + 2ab\)
\(2a^2 + 2b^2 + 2 \ge 2a + 2b + 2ab\)
Разделим обе части полученного неравенства на 2. Поскольку 2 является положительным числом, знак неравенства не изменится:
\(\frac{2a^2}{2} + \frac{2b^2}{2} + \frac{2}{2} \ge \frac{2a}{2} + \frac{2b}{2} + \frac{2ab}{2}\)
\(a^2 + b^2 + 1 \ge a + b + ab\)
Таким образом, исходное неравенство доказано.