ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(4a^2 + b^2 + 1 > 2ab + 2a + b\).

Доказательство неравенства \(4a^2 + b^2 + 1 \ge 2ab + 2a + b\).

Рассмотрим три вспомогательных неравенства, основанных на том, что квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Первое неравенство:
Из \((2a — 1)^2 \ge 0\) следует \(4a^2 — 4a + 1 \ge 0\), что можно переписать как \(4a^2 + 1 \ge 4a\).

Второе неравенство:
Из \((b — 1)^2 \ge 0\) следует \(b^2 — 2b + 1 \ge 0\), что можно переписать как \(b^2 + 1 \ge 2b\).

Третье неравенство:
Из \((2a — b)^2 \ge 0\) следует \(4a^2 — 4ab + b^2 \ge 0\), что можно переписать как \(4a^2 + b^2 \ge 4ab\).

Сложим почленно полученные неравенства:
\((4a^2 + 1) + (b^2 + 1) + (4a^2 + b^2) \ge 4a + 2b + 4ab\)
Приведя подобные члены, получаем:
\(8a^2 + 2b^2 + 2 \ge 4ab + 4a + 2b\)
Разделим обе части неравенства на 2:
\(4a^2 + b^2 + 1 \ge 2ab + 2a + b\)
Таким образом, исходное неравенство доказано.

Докажем неравенство: \(4a^2 + b^2 + 1 \ge 2ab + 2a + b\).

1) Первое неравенство:
Начнем с фундаментального свойства действительных чисел: квадрат любого действительного числа неотрицателен. То есть, для любого действительного числа \(x\), выполняется \(x^2 \ge 0\). Применим это свойство к выражению \((2a — 1)\).
Следовательно, мы имеем:
\((2a — 1)^2 \ge 0\)
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\):
\((2a)^2 — 2 \cdot (2a) \cdot 1 + 1^2 \ge 0\)
Что дает:
\(4a^2 — 4a + 1 \ge 0\)
Перенесем член \(-4a\) в правую часть неравенства, изменив его знак:
\(4a^2 + 1 \ge 4a\)

2) Второе неравенство:
Аналогично, применим свойство неотрицательности квадрата действительного числа к выражению \((b — 1)\).
Таким образом:
\((b — 1)^2 \ge 0\)
Раскроем скобки:
\(b^2 — 2 \cdot b \cdot 1 + 1^2 \ge 0\)
Что упрощается до:
\(b^2 — 2b + 1 \ge 0\)
Перенесем член \(-2b\) в правую часть неравенства:
\(b^2 + 1 \ge 2b\)

3) Третье неравенство:
Снова используем свойство неотрицательности квадрата, на этот раз для выражения \((2a — b)\).
Получаем:
\((2a — b)^2 \ge 0\)
Раскроем скобки:
\((2a)^2 — 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 \ge 0\)
Что дает:
\(4a^2 — 4ab + b^2 \ge 0\)
Перенесем член \(-4ab\) в правую часть неравенства:
\(4a^2 + b^2 \ge 4ab\)

4) Сложим почленно неравенства:
Теперь, когда у нас есть три доказанных неравенства:
I) \(4a^2 + 1 \ge 4a\)
II) \(b^2 + 1 \ge 2b\)
III) \(4a^2 + b^2 \ge 4ab\)
Мы можем сложить их почленно. Если \(A \ge B\), \(C \ge D\) и \(E \ge F\), то \(A + C + E \ge B + D + F\).
Сложим левые части всех трех неравенств: \((4a^2 + 1) + (b^2 + 1) + (4a^2 + b^2)\)
Сложим правые части всех трех неравенств: \(4a + 2b + 4ab\)
Объединяем их в одно неравенство:
\((4a^2 + 1) + (b^2 + 1) + (4a^2 + b^2) \ge 4a + 2b + 4ab\)
Приведем подобные члены в левой части:
\(4a^2 + 4a^2 + b^2 + b^2 + 1 + 1 \ge 4a + 2b + 4ab\)
\(8a^2 + 2b^2 + 2 \ge 4a + 2b + 4ab\)
Теперь разделим все члены неравенства на 2. Поскольку 2 является положительным числом, знак неравенства не изменится:
\(\frac{8a^2}{2} + \frac{2b^2}{2} + \frac{2}{2} \ge \frac{4a}{2} + \frac{2b}{2} + \frac{4ab}{2}\)
Что приводит к:
\(4a^2 + b^2 + 1 \ge 2a + b + 2ab\)
Переставим члены в правой части для удобства сравнения с исходным неравенством:
\(4a^2 + b^2 + 1 \ge 2ab + 2a + b\)
Это в точности то неравенство, которое требовалось доказать.

Неравенство доказано.