ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), то \(a + b + c > \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}\).

Доказательство неравенства \(a+b+c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}\) для \(a \geq 0\), \(b \geq 0\), \(c \geq 0\) основано на вспомогательном неравенстве.

Рассмотрим вспомогательное неравенство \((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0\). Поскольку квадраты действительных чисел всегда неотрицательны, сумма таких квадратов также неотрицательна.

Раскрывая скобки, получаем:
\(x^2 — 2xy + y^2 + y^2 — 2yz + z^2 + z^2 — 2zx + x^2 \geq 0\)
Приводя подобные члены, имеем:
\(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \geq 2xy + 2yz + 2zx\)
Делим обе части неравенства на 2:
\(x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx\)

Теперь подставим \(x = \sqrt{a}\), \(y = \sqrt{b}\), \(z = \sqrt{c}\) в полученное неравенство. Поскольку \(a, b, c \geq 0\), их квадратные корни являются действительными числами.
\(\left(\sqrt{a}\right)^2 + \left(\sqrt{b}\right)^2 + \left(\sqrt{c}\right)^2 \geq \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{c} + \sqrt{c}\sqrt{a}\)
Что упрощается до:
\(a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}\)
Таким образом, исходное неравенство доказано.

Доказать, что если \(a \geq 0\), \(b \geq 0\) и \(c \geq 0\), тогда: \(a+b+c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}\).

1) Вспомогательное неравенство:

Начнем с очевидного факта, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Рассмотрим сумму квадратов разностей трех действительных чисел \(x\), \(y\), \(z\):
\((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0\)

Раскроем каждую скобку, используя формулу квадрата разности \((A-B)^2 = A^2 — 2AB + B^2\):
\((x^2 — 2xy + y^2) + (y^2 — 2yz + z^2) + (z^2 — 2zx + x^2) \geq 0\)

Сгруппируем и приведем подобные члены. Заметим, что каждый из членов \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\) встречается дважды:
\(x^2 + x^2 + y^2 + y^2 + z^2 + z^2 — 2xy — 2yz — 2zx \geq 0\)
\(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 — 2xy — 2yz — 2zx \geq 0\)

Перенесем отрицательные члены в правую часть неравенства:
\(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \geq 2xy + 2yz + 2zx\)

Разделим обе части неравенства на 2:
\(x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx\)
Это вспомогательное неравенство является ключевым для доказательства исходного.

2) В исходном неравенстве:

Теперь применим вспомогательное неравенство \(x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx\) к исходному выражению.
Поскольку по условию \(a \geq 0\), \(b \geq 0\) и \(c \geq 0\), мы можем взять их квадратные корни, которые также будут неотрицательными действительными числами.
Пусть \(x = \sqrt{a}\), \(y = \sqrt{b}\), \(z = \sqrt{c}\).

Подставим эти значения в вспомогательное неравенство:
\((\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 + (\sqrt{c})^2 \geq \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{c} + \sqrt{c}\sqrt{a}\)

Вычислим квадраты и произведения корней:
\(a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}\)

Таким образом, исходное неравенство доказано.