ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \geq \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b}\).

Для доказательства неравенства \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} \) используется вспомогательное неравенство. Из очевидного неравенства \( (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0 \), раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем \( (x^2 — 2xy + y^2) + (y^2 — 2yz + z^2) + (z^2 — 2zx + x^2) \ge 0 \), что упрощается до \( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \ge 2xy + 2yz + 2zx \). Разделив обе части на 2, получаем вспомогательное неравенство \( x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx \).

Применяя вспомогательное неравенство, подставим \( x = \frac{a}{b} \), \( y = \frac{b}{c} \), \( z = \frac{c}{a} \). Тогда левая часть исходного неравенства становится \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \). Правая часть вспомогательного неравенства при этих подстановках будет \( \left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{b}{c}\right) + \left(\frac{b}{c}\right)\left(\frac{c}{a}\right) + \left(\frac{c}{a}\right)\left(\frac{a}{b}\right) \). Упрощая произведения, получаем \( \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \). Таким образом, исходное неравенство \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \) доказано.

Доказать, что если \(a \geq 0\), \(b \geq 0\) и \(c \geq 0\), тогда: \(a+b+c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}\).

1) Вспомогательное неравенство:

Начнем с очевидного факта, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Рассмотрим сумму квадратов разностей трех действительных чисел \(x\), \(y\), \(z\):
\((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0\)

Раскроем каждую скобку, используя формулу квадрата разности \((A-B)^2 = A^2 — 2AB + B^2\):
\((x^2 — 2xy + y^2) + (y^2 — 2yz + z^2) + (z^2 — 2zx + x^2) \geq 0\)

Сгруппируем и приведем подобные члены. Заметим, что каждый из членов \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\) встречается дважды:
\(x^2 + x^2 + y^2 + y^2 + z^2 + z^2 — 2xy — 2yz — 2zx \geq 0\)
\(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 — 2xy — 2yz — 2zx \geq 0\)

Перенесем отрицательные члены в правую часть неравенства:
\(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \geq 2xy + 2yz + 2zx\)

Разделим обе части неравенства на 2:
\(x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx\)
Это вспомогательное неравенство является ключевым для доказательства исходного.

2) В исходном неравенстве:

Теперь применим вспомогательное неравенство \(x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx\) к исходному выражению.
Поскольку по условию \(a \geq 0\), \(b \geq 0\) и \(c \geq 0\), мы можем взять их квадратные корни, которые также будут неотрицательными действительными числами.
Пусть \(x = \sqrt{a}\), \(y = \sqrt{b}\), \(z = \sqrt{c}\).

Подставим эти значения в вспомогательное неравенство:
\((\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 + (\sqrt{c})^2 \geq \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{c} + \sqrt{c}\sqrt{a}\)

Вычислим квадраты и произведения корней:
\(a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}\)

Таким образом, исходное неравенство доказано.