ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 > \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b}\).

Для доказательства неравенства \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} \) используется вспомогательное неравенство. Из очевидного неравенства \( (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0 \), раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем \( (x^2 — 2xy + y^2) + (y^2 — 2yz + z^2) + (z^2 — 2zx + x^2) \ge 0 \), что упрощается до \( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \ge 2xy + 2yz + 2zx \). Разделив обе части на 2, получаем вспомогательное неравенство \( x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx \).

Применяя вспомогательное неравенство, подставим \( x = \frac{a}{b} \), \( y = \frac{b}{c} \), \( z = \frac{c}{a} \). Тогда левая часть исходного неравенства становится \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \). Правая часть вспомогательного неравенства при этих подстановках будет \( \left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{b}{c}\right) + \left(\frac{b}{c}\right)\left(\frac{c}{a}\right) + \left(\frac{c}{a}\right)\left(\frac{a}{b}\right) \). Упрощая произведения, получаем \( \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \). Таким образом, исходное неравенство \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \) доказано.

1) Вспомогательное неравенство:
Начнем с очевидного факта, что сумма квадратов любых действительных чисел неотрицательна. Рассмотрим выражение \( (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \). Это выражение всегда больше или равно нулю: \( (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0 \).

Раскроем скобки в каждом члене:
\( (x^2 — 2xy + y^2) + (y^2 — 2yz + z^2) + (z^2 — 2zx + x^2) \ge 0 \).

Сгруппируем и сложим подобные члены:
\( x^2 + x^2 + y^2 + y^2 + z^2 + z^2 — 2xy — 2yz — 2zx \ge 0 \)
\( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 — 2xy — 2yz — 2zx \ge 0 \).

Перенесем отрицательные члены в правую часть неравенства:
\( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \ge 2xy + 2yz + 2zx \).

Разделим обе части неравенства на 2:
\( x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx \).
Это и есть вспомогательное неравенство, которое будет использовано для доказательства исходного.

2) В исходном неравенстве:
Исходное неравенство, которое необходимо доказать, выглядит следующим образом: \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} \).

Для доказательства этого неравенства воспользуемся вспомогательным неравенством \( x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx \), полученным в пункте 1.
Сделаем следующие замены:
Пусть \( x = \frac{a}{b} \).
Пусть \( y = \frac{b}{c} \).
Пусть \( z = \frac{c}{a} \).

Подставим эти значения в вспомогательное неравенство:
Левая часть вспомогательного неравенства \( x^2 + y^2 + z^2 \) станет:
\( \left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \).

Правая часть вспомогательного неравенства \( xy + yz + zx \) станет:
\( \left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{b}{c}\right) + \left(\frac{b}{c}\right)\left(\frac{c}{a}\right) + \left(\frac{c}{a}\right)\left(\frac{a}{b}\right) \).

Упростим каждый член в правой части:
\( \left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{b}{c}\right) = \frac{a \cdot b}{b \cdot c} = \frac{a}{c} \).
\( \left(\frac{b}{c}\right)\left(\frac{c}{a}\right) = \frac{b \cdot c}{c \cdot a} = \frac{b}{a} \).
\( \left(\frac{c}{a}\right)\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{c \cdot a}{a \cdot b} = \frac{c}{b} \).

Таким образом, правая часть вспомогательного неравенства после подстановки и упрощения принимает вид:
\( \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \).

Сопоставляя левую и правую части, получаем:
\( \left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \).
Это в точности совпадает с исходным неравенством, которое требовалось доказать. Следовательно, неравенство доказано.