ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), то \(\frac{c}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} > a + b + c\).

Докажем неравенство \( \left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \).

Используем вспомогательное неравенство: для любых действительных чисел \(x, y, z\) справедливо \( x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx \). Это неравенство следует из того, что сумма квадратов \( (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \) всегда неотрицательна. Раскрывая скобки и деля на 2, получаем требуемое.

Применим вспомогательное неравенство, полагая \( x = \left(\frac{a}{b}\right)^2 \), \( y = \left(\frac{b}{c}\right)^2 \), \( z = \left(\frac{c}{a}\right)^2 \). Тогда получаем:
\( \left(\left(\frac{a}{b}\right)^2\right)^2 + \left(\left(\frac{b}{c}\right)^2\right)^2 + \left(\left(\frac{c}{a}\right)^2\right)^2 \ge \left(\frac{a}{b}\right)^2 \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 \left(\frac{c}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \left(\frac{a}{b}\right)^2 \)
Это упрощается до:
\( \left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{b}\right)^2 \)

Теперь применим вспомогательное неравенство еще раз к правой части полученного выражения, полагая \( x = \frac{a}{c} \), \( y = \frac{b}{a} \), \( z = \frac{c}{b} \). Тогда:
\( \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{b}\right)^2 \ge \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{a} + \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} + \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} \)
Что упрощается до:
\( \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{b}\right)^2 \ge \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} \)

Объединяя оба неравенства, получаем:
\( \left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{b}\right)^2 \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \)
Таким образом, исходное неравенство доказано.

Докажем неравенство: \( \left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \).

1) Вспомогательное неравенство:
Рассмотрим вспомогательное неравенство для любых действительных чисел \(x, y, z\): \( (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0 \). Это неравенство всегда верно, так как сумма квадратов действительных чисел неотрицательна.
Раскроем скобки:
\( (x^2 — 2xy + y^2) + (y^2 — 2yz + z^2) + (z^2 — 2zx + x^2) \ge 0 \)
Сгруппируем члены:
\( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \ge 2xy + 2yz + 2zx \)
Разделим обе части неравенства на 2:
\( x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx \)
Это вспомогательное неравенство будет использоваться в следующих шагах.

2) В исходном неравенстве:
Применим доказанное вспомогательное неравенство \( x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx \) к левой части исходного неравенства. Для этого сделаем следующие замены:
Пусть \( x = \left(\frac{a}{b}\right)^2 \), \( y = \left(\frac{b}{c}\right)^2 \), и \( z = \left(\frac{c}{a}\right)^2 \).
Подставим эти выражения во вспомогательное неравенство:
\( \left(\left(\frac{a}{b}\right)^2\right)^2 + \left(\left(\frac{b}{c}\right)^2\right)^2 + \left(\left(\frac{c}{a}\right)^2\right)^2 \ge \left(\frac{a}{b}\right)^2 \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 \left(\frac{c}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \left(\frac{a}{b}\right)^2 \)
Выполним возведение в степень и умножение:
\( \left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \cdot \frac{c^2}{a^2} + \frac{c^2}{a^2} \cdot \frac{a^2}{b^2} \)
Сократим общие множители в правой части:
\( \left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{a^2} + \frac{c^2}{b^2} \)
Или, что то же самое:
\( \left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{b}\right)^2 \)

3) Для правой части неравенства:
Теперь применим вспомогательное неравенство \( x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx \) еще раз, но уже к правой части полученного в пункте 2 неравенства.
Для этого сделаем новые замены:
Пусть \( x = \frac{a}{c} \), \( y = \frac{b}{a} \), и \( z = \frac{c}{b} \).
Подставим эти выражения во вспомогательное неравенство:
\( \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{b}\right)^2 \ge \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{a} + \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} + \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} \)
Выполним умножение в правой части:
\( \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{b}\right)^2 \ge \frac{ab}{ca} + \frac{bc}{ab} + \frac{ca}{bc} \)
Сократим общие множители:
\( \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{b}\right)^2 \ge \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} \)

Объединяя результаты из пункта 2 и пункта 3, получаем цепочку неравенств:
\( \left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 + \left(\frac{c}{b}\right)^2 \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \)
Из этой цепочки следует, что:
\( \left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \)
Неравенство доказано.