ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\). Докажите, что \((a — b)^2 + (b — c)^2 + (c — a)^2 \leq 3\).

Дано: \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\). Требуется доказать неравенство: \((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \le 3\).

Раскроем скобки в левой части неравенства:
\((a^2 — 2ab + b^2) + (b^2 — 2bc + c^2) + (c^2 — 2ac + a^2) \le 3\).

Объединим подобные члены:
\(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 — 2ab — 2bc — 2ac \le 3\).
Вынесем общий множитель \(2\):
\(2(a^2 + b^2 + c^2) — 2(ab + bc + ac) \le 3\).

Используем данное условие \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\):
\(2(1) — 2(ab + bc + ac) \le 3\).
\(2 — 2(ab + bc + ac) \le 3\).

Перенесем \(2\) в правую часть:
\(-2(ab + bc + ac) \le 3 — 2\).
\(-2(ab + bc + ac) \le 1\).

Умножим обе части неравенства на \(-1\) и изменим знак неравенства на противоположный:
\(2(ab + bc + ac) \ge -1\).

Теперь рассмотрим известное тождество \((a+b+c)^2 \ge 0\), которое всегда истинно для любых действительных чисел \(a, b, c\).
Раскроем скобки:
\(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac \ge 0\).

Подставим данное условие \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\) в это неравенство:
\(1 + 2(ab + bc + ac) \ge 0\).

Перенесем \(1\) в правую часть:
\(2(ab + bc + ac) \ge -1\).

Полученное неравенство \(2(ab + bc + ac) \ge -1\) совпадает с неравенством, к которому мы пришли, преобразуя исходное. Поскольку \((a+b+c)^2 \ge 0\) является истинным утверждением, то и эквивалентное ему неравенство \(2(ab + bc + ac) \ge -1\) также истинно. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Известно, что \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\). Требуется доказать неравенство: \((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \le 3\).

1. Раскрываем квадраты двучленов в левой части исходного неравенства, используя формулу \((x-y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\):
\((a^2 — 2ab + b^2) + (b^2 — 2bc + c^2) + (c^2 — 2ac + a^2) \le 3\).

2. Группируем подобные члены в левой части неравенства. Замечаем, что каждый из членов \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) встречается дважды, а члены \(-2ab\), \(-2bc\), \(-2ac\) встречаются по одному разу:
\(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 — 2ab — 2bc — 2ac \le 3\).
Выносим общий множитель \(2\) из первых трех членов и из последних трех членов:
\(2(a^2 + b^2 + c^2) — 2(ab + bc + ac) \le 3\).
Поскольку дано, что \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\), мы можем записать правую часть \(3\) как \(3 \cdot 1\), то есть \(3(a^2 + b^2 + c^2)\). Подставляем это в неравенство:
\(2(a^2 + b^2 + c^2) — 2(ab + bc + ac) \le 3(a^2 + b^2 + c^2)\).

3. Переносим все члены в правую часть неравенства, чтобы левая часть стала нулем, или преобразуем его, используя заданное условие \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\). Подставляем \(1\) вместо \(a^2 + b^2 + c^2\):
\(2(1) — 2(ab + bc + ac) \le 3(1)\).
\(2 — 2(ab + bc + ac) \le 3\).
Вычитаем \(2\) из обеих частей неравенства:
\(-2(ab + bc + ac) \le 1\).
Умножаем обе части неравенства на \(-1\). При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
\(2(ab + bc + ac) \ge -1\).
Прибавляем \(1\) к обеим частям неравенства:
\(1 + 2(ab + bc + ac) \ge 0\).
Поскольку \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\), мы можем заменить \(1\) на \(a^2 + b^2 + c^2\):
\((a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + bc + ac) \ge 0\).

4. Раскрываем скобки во втором слагаемом и переставляем члены для удобства, чтобы увидеть известную формулу квадрата суммы трех чисел:
\(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac \ge 0\).

5. Группируем члены, чтобы выделить квадрат суммы двух слагаемых, а затем квадрат суммы трех слагаемых. Сначала сгруппируем члены, относящиеся к \((a+b)^2\):
\((a^2 + 2ab + b^2) + 2ac + 2bc + c^2 \ge 0\).
Заменяем \((a^2 + 2ab + b^2)\) на \((a+b)^2\):
\((a+b)^2 + 2ac + 2bc + c^2 \ge 0\).
Выносим общий множитель \(2c\) из членов \(2ac + 2bc\):
\((a+b)^2 + 2c(a+b) + c^2 \ge 0\).

6. Применяем формулу квадрата суммы \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\), где \(x = (a+b)\) и \(y = c\). Тогда левая часть неравенства становится квадратом суммы \((a+b)\) и \(c\):
\(((a+b) + c)^2 \ge 0\).

7. Полученное неравенство \(((a+b) + c)^2 \ge 0\) является истинным для любых действительных чисел \(a, b, c\), так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поскольку все шаги преобразования были эквивалентными, исходное неравенство также является истинным.
Неравенство доказано.