ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях \(a\), \(b\) и \(c\) хотя бы одно из неравенств \(a — b^2 \geq 0\), \(b — c^2 \geq 0\), \(c — a^2 \geq 0\) верно.

Докажем методом от противного.

Допустим, что ни одно из данных неравенств неверно. Это означает, что все три неравенства ложны.
Тогда имеем:
\(a — b^2 > \frac{1}{4}\)
\(b — c^2 > \frac{1}{4}\)
\(c — a^2 > \frac{1}{4}\)

Сложим почленно эти три неравенства:
\((a — b^2) + (b — c^2) + (c — a^2) > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\)
Упростим левую часть:
\(a — b^2 + b — c^2 + c — a^2 > \frac{3}{4}\)
Перегруппируем члены:
\((a — a^2) + (b — b^2) + (c — c^2) > \frac{3}{4}\)
Умножим обе части на \(-1\) и изменим знак неравенства:
\((a^2 — a) + (b^2 — b) + (c^2 — c) < -\frac{3}{4}\) Добавим \(\frac{1}{4}\) к каждому члену в скобках, чтобы выделить полные квадраты. Для этого добавим \(\frac{3}{4}\) к обеим частям неравенства: \((a^2 - a + \frac{1}{4}) + (b^2 - b + \frac{1}{4}) + (c^2 - c + \frac{1}{4}) < -\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\) \((a^2 - a + \frac{1}{4}) + (b^2 - b + \frac{1}{4}) + (c^2 - c + \frac{1}{4}) < 0\) Преобразуем выражения в скобках в полные квадраты: \((a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 + (c - \frac{1}{2})^2 < 0\) Полученное неравенство \((a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 + (c - \frac{1}{2})^2 < 0\) является противоречием, так как сумма квадратов действительных чисел не может быть отрицательной; она всегда больше или равна нулю. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что ни одно из неравенств неверно, является ложным. Это доказывает, что хотя бы одно из исходных неравенств должно быть верным.

Докажем методом от противного.

1) Допустим, что ни одно из данных неравенств неверно. Это означает, что все три исходных неравенства ложны. Если неравенство \(\le\) неверно, то верным является строгое неравенство \(>\). Таким образом, мы предполагаем, что одновременно выполняются следующие три строгих неравенства:
\(a — b^2 > \frac{1}{4}\)
\(b — c^2 > \frac{1}{4}\)
\(c — a^2 > \frac{1}{4}\)

2) Сложим почленно все три неравенства, которые мы предположили как истинные. Это означает, что мы складываем левые части всех неравенств и правые части всех неравенств, сохраняя знак неравенства \(>\):
\((a — b^2) + (b — c^2) + (c — a^2) > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\)
Выполним сложение и упрощение выражений в обеих частях неравенства. В левой части члены \(-b^2\) и \(b\), \(-c^2\) и \(c\), \(-a^2\) и \(a\) не сокращаются, но мы можем перегруппировать их. В правой части складываем дроби:
\(a — b^2 + b — c^2 + c — a^2 > \frac{3}{4}\)
Перегруппируем члены в левой части таким образом, чтобы сгруппировать члены, относящиеся к одной и той же переменной:
\((a — a^2) + (b — b^2) + (c — c^2) > \frac{3}{4}\)
Теперь вынесем минус за скобки в каждом члене, чтобы получить вид \(x^2 — x\):
\(-(a^2 — a) — (b^2 — b) — (c^2 — c) > \frac{3}{4}\)
Умножим обе части неравенства на \(-1\). При умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
\((a^2 — a) + (b^2 — b) + (c^2 — c) < -\frac{3}{4}\) Для того чтобы преобразовать выражения в скобках в полные квадраты вида \((x - \frac{1}{2})^2\), необходимо добавить \(\frac{1}{4}\) к каждому выражению. Вспомним формулу полного квадрата: \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\). Если \(y = \frac{1}{2}\), то \((x - \frac{1}{2})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}\). Таким образом, к левой части неравенства необходимо добавить \(\frac{1}{4}\) три раза, то есть всего \(\frac{3}{4}\). Чтобы сохранить баланс неравенства, мы должны добавить \(\frac{3}{4}\) и к правой части: \((a^2 - a + \frac{1}{4}) + (b^2 - b + \frac{1}{4}) + (c^2 - c + \frac{1}{4}) < -\frac{3}{4} + \frac{3}{4}\) Упростим правую часть и преобразуем выражения в скобках в полные квадраты: \((a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 + (c - \frac{1}{2})^2 < 0\) Возникло противоречие. Каждое слагаемое в левой части неравенства, \((a - \frac{1}{2})^2\), \((b - \frac{1}{2})^2\) и \((c - \frac{1}{2})^2\), является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, \((a - \frac{1}{2})^2 \ge 0\), \((b - \frac{1}{2})^2 \ge 0\), \((c - \frac{1}{2})^2 \ge 0\). Сумма трех неотрицательных чисел также должна быть неотрицательной: \((a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 + (c - \frac{1}{2})^2 \ge 0\) Однако, мы получили, что эта сумма должна быть строго меньше нуля: \((a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 + (c - \frac{1}{2})^2 < 0\) Это является явным противоречием, так как число, которое неотрицательно, не может быть одновременно строго отрицательным. Поскольку наше первоначальное предположение (что ни одно из исходных неравенств неверно) привело к противоречию, это предположение должно быть ложным. Следовательно, утверждение, которое мы пытались доказать, является истинным. То есть, для любых действительных чисел \(a\), \(b\) и \(c\) верно хотя бы одно из неравенств: \(a - b^2 \le \frac{1}{4}\), \(b - c^2 \le \frac{1}{4}\), \(c - a^2 \le \frac{1}{4}\). Что и требовалось доказать.