ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) если \(a > 6\), то \(a^3 — 6a^2 + a — 6 > 0\);

2) если \(a > b\), то \(ab(b — a) < a^3 — b^3\).

Первое неравенство: если \(a \geq 6\), то нужно доказать, что \(a^3 — 6a^2 + a — 6 \geq 0\).
Рассмотрим выражение \(a^3 — 6a^2 + a — 6\). Перегруппируем его как \(a(a^2 + 1) — 6(a^2 + 1) = (a — 6)(a^2 + 1)\). Поскольку \(a \geq 6\), то \(a — 6 \geq 0\), а \(a^2 + 1 > 0\) всегда. Значит, \((a — 6)(a^2 + 1) \geq 0\), что и требовалось доказать.

Второе неравенство: если \(a \geq b\), то нужно доказать, что \(ab(b — a) \leq a^3 — b^3\).
Раскроем правую часть: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Тогда неравенство примет вид \(-ab(a — b) \leq (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Перенесем все в одну сторону: \((a — b)(a^2 + ab + b^2 + ab) = (a — b)(a^2 + 2ab + b^2) = (a — b)(a + b)^2\). Поскольку \(a \geq b\), то \(a — b \geq 0\), а \((a + b)^2 > 0\) всегда (если \(a + b \neq 0\)). Значит, \((a — b)(a + b)^2 \geq 0\), что подтверждает неравенство.

1) Докажем, что если \(a \geq 6\), то \(a^3 — 6a^2 + a — 6 \geq 0\). Начнем с рассмотрения данного выражения. Наша цель — показать, что при \(a \geq 6\) это выражение не становится отрицательным. Для этого попробуем преобразовать выражение так, чтобы можно было явно увидеть его знак.

Рассмотрим выражение \(a^3 — 6a^2 + a — 6\). Попробуем перегруппировать его, чтобы выделить множители. Заметим, что можно сгруппировать члены следующим образом: \(a^3 + a — 6a^2 — 6\). Теперь вынесем общие множители: \(a(a^2 + 1) — 6(a^2 + 1)\). Это позволяет записать выражение в виде \((a — 6)(a^2 + 1)\).

Проанализируем полученные множители. Первый множитель \((a — 6)\) при \(a \geq 6\) будет неотрицательным, так как \(a — 6 \geq 0\). Второй множитель \((a^2 + 1)\) всегда положителен, потому что \(a^2 \geq 0\) для любого \(a\), а прибавление единицы делает выражение строго больше нуля. Таким образом, произведение \((a — 6)(a^2 + 1)\) является произведением неотрицательного числа на положительное, что всегда дает неотрицательный результат.

Следовательно, \((a — 6)(a^2 + 1) \geq 0\), что эквивалентно исходному неравенству \(a^3 — 6a^2 + a — 6 \geq 0\). Неравенство доказано для всех \(a \geq 6\).

2) Докажем, что если \(a \geq b\), то \(ab(b — a) \leq a^3 — b^3\). Начнем с анализа правой части выражения. Мы знаем, что \(a^3 — b^3\) можно разложить по формуле разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Это разложение поможет нам сравнить левую и правую части неравенства.

Подставим разложение в неравенство: \(ab(b — a) \leq (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Заметим, что \(b — a = -(a — b)\), поэтому левая часть преобразуется в \(ab(-(a — b)) = -ab(a — b)\). Теперь неравенство выглядит как \(-ab(a — b) \leq (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы упростить анализ: \(-ab(a — b) — (a — b)(a^2 + ab + b^2) \leq 0\). Вынесем общий множитель \((a — b)\): \((a — b)(-ab — (a^2 + ab + b^2)) \leq 0\). Упростим выражение внутри скобок: \(-ab — a^2 — ab — b^2 = -a^2 — 2ab — b^2 = -(a^2 + 2ab + b^2) = -(a + b)^2\).

Таким образом, неравенство принимает вид \((a — b)(-(a + b)^2) \leq 0\), что эквивалентно \(-(a — b)(a + b)^2 \leq 0\). Умножим обе части на \(-1\), помня, что при этом знак неравенства меняется на противоположный: \((a — b)(a + b)^2 \geq 0\).

Теперь рассмотрим знаки множителей. Если \(a \geq b\), то \((a — b) \geq 0\). Множитель \((a + b)^2\) всегда неотрицателен, так как это квадрат числа, и равен нулю только если \(a + b = 0\). В общем случае, когда \(a + b \neq 0\), \((a + b)^2 > 0\). Таким образом, произведение \((a — b)(a + b)^2\) является произведением неотрицательного числа на неотрицательное (или положительное), что всегда дает результат больше или равный нулю.

Следовательно, \((a — b)(a + b)^2 \geq 0\), что подтверждает исходное неравенство \(ab(b — a) \leq a^3 — b^3\). Неравенство доказано для всех \(a \geq b\).