ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.51 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x > 0\) и \(y > 0\), то \(x^2 + y^2 + \frac{y^4}{x^2} + \frac{x^4}{y^2} \geq 4xy\).

Для доказательства неравенства \(\frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{xy}\) при \(x > 0\) и \(y > 0\), используем известное неравенство \((a — b)^2 \ge 0\), которое приводит к \(\frac{1}{a^2 + b^2} \le \frac{1}{2ab}\) для положительных \(a\) и \(b\).

Применим это неравенство к первому слагаемому. Для знаменателя \(x^4 + y^2\), пусть \(a = x^2\) и \(b = y\). Тогда \(x^4 + y^2 \ge 2x^2y\). Отсюда следует, что \(\frac{1}{x^4 + y^2} \le \frac{1}{2x^2y}\). Умножая обе части на \(x\) (поскольку \(x > 0\)), получаем \(\frac{x}{x^4 + y^2} \le \frac{x}{2x^2y} = \frac{1}{2xy}\).

Аналогично, для второго слагаемого, для знаменателя \(y^4 + x^2\), пусть \(a = y^2\) и \(b = x\). Тогда \(y^4 + x^2 \ge 2y^2x\). Отсюда следует, что \(\frac{1}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{2y^2x}\). Умножая обе части на \(y\) (поскольку \(y > 0\)), получаем \(\frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{y}{2y^2x} = \frac{1}{2xy}\).

Сложив почленно полученные неравенства:
\(\frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{2xy} + \frac{1}{2xy}\)
\(\frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{2}{2xy}\)
\(\frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{xy}\)
Таким образом, неравенство доказано.

Докажем, что если \(x > 0\) и \(y > 0\), тогда \(\frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{xy}\).

1) Если \(a > 0\) и \(b > 0\), тогда справедливо следующее неравенство, известное как неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, или же вытекающее из свойства неотрицательности квадрата действительного числа. Начнем с очевидного факта, что квадрат любого действительного числа неотрицателен:
\((a — b)^2 \ge 0\).

Раскроем скобки в левой части данного неравенства:
\(a^2 — 2ab + b^2 \ge 0\).

Перенесем член \(-2ab\) из левой части неравенства в правую, изменив его знак:
\(a^2 + b^2 \ge 2ab\).

Поскольку \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(a^2 + b^2\) является положительной величиной, и \(2ab\) также является положительной величиной. Следовательно, мы можем взять обратные значения от обеих частей неравенства, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
\(\frac{1}{a^2 + b^2} \le \frac{1}{2ab}\).

Это ключевое вспомогательное неравенство будет использовано в следующих шагах.

2) Рассмотрим первое слагаемое исходного неравенства: \(\frac{x}{x^4 + y^2}\). Для применения вспомогательного неравенства \(\frac{1}{a^2 + b^2} \le \frac{1}{2ab}\), мы можем сделать следующую замену переменных: пусть \(a = x^2\) и \(b = y\). Поскольку по условию \(x > 0\) и \(y > 0\), то \(x^2 > 0\) и \(y > 0\), что удовлетворяет условиям \(a > 0\) и \(b > 0\).

Подставим эти значения в неравенство \(a^2 + b^2 \ge 2ab\):
\((x^2)^2 + y^2 \ge 2(x^2)(y)\).
Это упрощается до:
\(x^4 + y^2 \ge 2x^2y\).

Теперь, используя свойство обратных величин, если \(A \ge B\) и \(A, B > 0\), то \(\frac{1}{A} \le \frac{1}{B}\):
\(\frac{1}{x^4 + y^2} \le \frac{1}{2x^2y}\).

Умножим обе части этого неравенства на \(x\). Поскольку \(x > 0\), знак неравенства не изменится:
\(x \cdot \frac{1}{x^4 + y^2} \le x \cdot \frac{1}{2x^2y}\).
\(\frac{x}{x^4 + y^2} \le \frac{x}{2x^2y}\).

Сократим \(x\) в правой части:
\(\frac{x}{x^4 + y^2} \le \frac{1}{2xy}\).
Это первое промежуточное неравенство.

3) Рассмотрим второе слагаемое исходного неравенства: \(\frac{y}{y^4 + x^2}\). Аналогично предыдущему шагу, применим вспомогательное неравенство \(\frac{1}{a^2 + b^2} \le \frac{1}{2ab}\). В этот раз сделаем следующую замену переменных: пусть \(a = y^2\) и \(b = x\). Поскольку по условию \(x > 0\) и \(y > 0\), то \(y^2 > 0\) и \(x > 0\), что удовлетворяет условиям \(a > 0\) и \(b > 0\).

Подставим эти значения в неравенство \(a^2 + b^2 \ge 2ab\):
\((y^2)^2 + x^2 \ge 2(y^2)(x)\).
Это упрощается до:
\(y^4 + x^2 \ge 2y^2x\).

Теперь, используя свойство обратных величин:
\(\frac{1}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{2y^2x}\).

Умножим обе части этого неравенства на \(y\). Поскольку \(y > 0\), знак неравенства не изменится:
\(y \cdot \frac{1}{y^4 + x^2} \le y \cdot \frac{1}{2y^2x}\).
\(\frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{y}{2y^2x}\).

Сократим \(y\) в правой части:
\(\frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{2xy}\).
Это второе промежуточное неравенство.

4) Теперь сложим почленно два полученных промежуточных неравенства:
Из шага 2: \(\frac{x}{x^4 + y^2} \le \frac{1}{2xy}\)
Из шага 3: \(\frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{2xy}\)

Сложим левые части и правые части:
\(\frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{2xy} + \frac{1}{2xy}\).

Суммируем дроби в правой части:
\(\frac{1}{2xy} + \frac{1}{2xy} = \frac{1+1}{2xy} = \frac{2}{2xy} = \frac{1}{xy}\).

Таким образом, окончательное неравенство имеет вид:
\(\frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{xy}\).
Неравенство доказано.