ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.52 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\), то \(\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \geq \frac{3}{2}\).

Докажем вспомогательное неравенство. Для любых положительных чисел \(a, b, c\), из \((a — b)^2 \ge 0\) следует \(a^2 — 2ab + b^2 \ge 0\), что дает \(a^2 + b^2 \ge 2ab\). Прибавляя \(c^2\) к обеим частям, получаем \(a^2 + b^2 + c^2 \ge 2ab + c^2\). Поскольку все переменные положительны, можно взять обратные величины и умножить на \(c^2\), сохраняя направление неравенства: \(\frac{c^2}{c^2 + 2ab} \ge \frac{c^2}{a^2 + b^2 + c^2}\).

Применим это вспомогательное неравенство к каждому члену исходного выражения.
Для первого члена \(\frac{x^2}{x^2 + 2yz}\), используя \(a=y, b=z, c=x\), имеем \(\frac{x^2}{x^2 + 2yz} \ge \frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2}\).

Для второго члена \(\frac{y^2}{y^2 + 2xz}\), используя \(a=x, b=z, c=y\), имеем \(\frac{y^2}{y^2 + 2xz} \ge \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2}\).

Для третьего члена \(\frac{z^2}{z^2 + 2xy}\), используя \(a=x, b=y, c=z\), имеем \(\frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2}\).

Сложив все три неравенства, получаем:
\(\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge \frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2}\).
Правая часть упрощается до \(\frac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2} = 1\).
Таким образом, \(\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge 1\).

Докажем, что если \(x > 0, y > 0, z > 0\), тогда: \(\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge 1\).

1) Докажем вспомогательное неравенство.
Пусть даны любые положительные числа \(a, b, c\). Рассмотрим очевидное неравенство, основанное на том, что квадрат любого действительного числа неотрицателен:
\((a — b)^2 \ge 0\).

Раскроем скобки в левой части данного неравенства:
\(a^2 — 2ab + b^2 \ge 0\).

Перенесем член \(-2ab\) в правую часть неравенства, изменив его знак:
\(a^2 + b^2 \ge 2ab\). Это известное неравенство, часто используемое в математике.

Теперь к обеим частям этого неравенства прибавим \(c^2\). Поскольку \(c^2\) является положительным числом, добавление его к обеим сторонам не изменит направление неравенства:
\(a^2 + b^2 + c^2 \ge 2ab + c^2\).

Поскольку \(a, b, c\) — положительные числа, то выражения \(a^2 + b^2 + c^2\) и \(2ab + c^2\) также являются положительными. Если мы возьмем обратные величины от обеих частей неравенства, направление неравенства изменится на противоположное. То есть, если \(A \ge B\) и \(A, B > 0\), то \(\frac{1}{A} \le \frac{1}{B}\):
\(\frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} \le \frac{1}{2ab + c^2}\).

Теперь умножим обе части этого неравенства на \(c^2\). Так как \(c > 0\), то \(c^2 > 0\), и умножение на положительное число не меняет направление неравенства:
\(\frac{c^2}{a^2 + b^2 + c^2} \le \frac{c^2}{2ab + c^2}\).

Перепишем это неравенство так, чтобы знак «больше или равно» был слева, как в исходном примере:
\(\frac{c^2}{c^2 + 2ab} \ge \frac{c^2}{a^2 + b^2 + c^2}\). Это вспомогательное неравенство будет ключевым для доказательства основного.

2) Применим доказанное вспомогательное неравенство к каждому члену исходного выражения.
Исходное неравенство, которое нам нужно доказать, имеет вид суммы трех дробей:
\(\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge 1\).

Рассмотрим первый член суммы: \(\frac{x^2}{x^2 + 2yz}\).
Мы можем применить вспомогательное неравенство \(\frac{c^2}{c^2 + 2ab} \ge \frac{c^2}{a^2 + b^2 + c^2}\), сопоставив переменные следующим образом: \(c = x\), \(a = y\), \(b = z\). Подставляя эти значения, получаем:
\(\frac{x^2}{x^2 + 2yz} \ge \frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2}\).

Рассмотрим второй член суммы: \(\frac{y^2}{y^2 + 2xz}\).
Аналогично, применяем вспомогательное неравенство, сопоставляя переменные: \(c = y\), \(a = x\), \(b = z\). Подставляя эти значения, получаем:
\(\frac{y^2}{y^2 + 2xz} \ge \frac{y^2}{y^2 + x^2 + z^2}\), что эквивалентно \(\frac{y^2}{y^2 + 2xz} \ge \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2}\).

Рассмотрим третий член суммы: \(\frac{z^2}{z^2 + 2xy}\).
Снова применяем вспомогательное неравенство, сопоставляя переменные: \(c = z\), \(a = x\), \(b = y\). Подставляя эти значения, получаем:
\(\frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge \frac{z^2}{z^2 + x^2 + y^2}\), что эквивалентно \(\frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2}\).

Теперь сложим все три полученных неравенства. Если \(A \ge A’\), \(B \ge B’\), и \(C \ge C’\), то \(A+B+C \ge A’+B’+C’\).
Складываем левые части и правые части соответствующих неравенств:
\(\left(\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy}\right) \ge \left(\frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2}\right)\).

Правая часть этого неравенства представляет собой сумму дробей с одинаковым знаменателем \(x^2 + y^2 + z^2\). Мы можем объединить их в одну дробь:
\(\frac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2}\).

Так как по условию \(x > 0, y > 0, z > 0\), то \(x^2 + y^2 + z^2\) всегда будет строго больше нуля. Следовательно, дробь \(\frac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2}\) равна \(1\).

Таким образом, мы получаем окончательное неравенство:
\(\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge 1\).
Неравенство доказано.