ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.53 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\), то \(\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \geq \frac{3}{2}\).

Доказательство начинается с вспомогательного неравенства. Для любых положительных чисел \(x\) и \(y\) известно, что \((x — y)^2 \ge 0\). Раскрывая скобки, получаем \(x^2 — 2xy + y^2 \ge 0\), что эквивалентно \(x^2 + y^2 \ge 2xy\). Поскольку \(x\) и \(y\) положительны, \(x^2 + y^2\) и \(2xy\) также положительны, поэтому можно взять обратные величины, изменив знак неравенства: \(\frac{1}{x^2 + y^2} \le \frac{1}{2xy}\). Умножая обе части на \(x\) (поскольку \(x > 0\)), получаем \(\frac{x}{x^2 + y^2} \le \frac{x}{2xy}\), что упрощается до \(\frac{x}{x^2 + y^2} \le \frac{1}{2y}\).

Применяя это вспомогательное неравенство к каждому члену исходного выражения:
Для первого члена, используя \((x, y) = (a, b)\), имеем \(\frac{a}{a^2 + b^2} \le \frac{1}{2b}\).
Для второго члена, используя \((x, y) = (b, c)\), имеем \(\frac{b}{b^2 + c^2} \le \frac{1}{2c}\).
Для третьего члена, используя \((x, y) = (c, a)\), имеем \(\frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2a}\).

Суммируя эти три неравенства, получаем:
\(\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2b} + \frac{1}{2c} + \frac{1}{2a}\).
Вынося \(\frac{1}{2}\) за скобки в правой части, имеем:
\(\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)\).

По условию задачи дано, что \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\). Подставляя это значение в неравенство, получаем:
\(\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2} \cdot 1\).
Таким образом, \(\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2}\). Неравенство доказано.

Докажем, что если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\), тогда \(\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2}\).

1) Рассмотрим вспомогательное неравенство. Для любых положительных чисел \(x\) и \(y\), мы знаем, что квадрат разности двух чисел всегда неотрицателен, то есть \((x — y)^2 \ge 0\).

Раскроем скобки в выражении \((x — y)^2\):
\(x^2 — 2xy + y^2 \ge 0\).

Перенесем член \(-2xy\) в правую часть неравенства, изменив его знак:
\(x^2 + y^2 \ge 2xy\).
Это неравенство является частным случаем неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, примененным к \(x^2\) и \(y^2\).

Так как по условию \(x > 0\) и \(y > 0\), то \(x^2 + y^2\) является положительным числом, и \(2xy\) также является положительным числом. Поскольку обе части неравенства \(x^2 + y^2 \ge 2xy\) положительны, мы можем взять обратные величины от обеих частей, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
\(\frac{1}{x^2 + y^2} \le \frac{1}{2xy}\).

Теперь умножим обе части этого неравенства на \(x\). Поскольку \(x > 0\), умножение на положительное число не меняет знак неравенства:
\(x \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \le x \cdot \frac{1}{2xy}\).

Упростим обе части выражения:
\(\frac{x}{x^2 + y^2} \le \frac{x}{2xy}\).

В правой части дроби \(\frac{x}{2xy}\) мы можем сократить \(x\) в числителе и знаменателе, так как \(x \ne 0\):
\(\frac{x}{x^2 + y^2} \le \frac{1}{2y}\).
Таким образом, вспомогательное неравенство \(\frac{x}{x^2 + y^2} \le \frac{1}{2y}\) доказано для любых \(x > 0\) и \(y > 0\).

2) Применим доказанное вспомогательное неравенство к каждому члену исходного выражения.

Для первого члена \(\frac{a}{a^2 + b^2}\), мы можем принять \(x = a\) и \(y = b\). Поскольку \(a > 0\) и \(b > 0\), согласно доказанному неравенству, имеем:
\(\frac{a}{a^2 + b^2} \le \frac{1}{2b}\).

Для второго члена \(\frac{b}{b^2 + c^2}\), мы можем принять \(x = b\) и \(y = c\). Поскольку \(b > 0\) и \(c > 0\), согласно доказанному неравенству, имеем:
\(\frac{b}{b^2 + c^2} \le \frac{1}{2c}\).

Для третьего члена \(\frac{c}{c^2 + a^2}\), мы можем принять \(x = c\) и \(y = a\). Поскольку \(c > 0\) и \(a > 0\), согласно доказанному неравенству, имеем:
\(\frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2a}\).

Теперь сложим все три полученных неравенства:
\(\left( \frac{a}{a^2 + b^2} \right) + \left( \frac{b}{b^2 + c^2} \right) + \left( \frac{c}{c^2 + a^2} \right) \le \left( \frac{1}{2b} \right) + \left( \frac{1}{2c} \right) + \left( \frac{1}{2a} \right)\).

Вынесем общий множитель \(\frac{1}{2}\) из правой части неравенства:
\(\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)\).

По условию задачи нам дано, что \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\). Подставим это значение в правую часть неравенства:
\(\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2} \cdot 1\).

Окончательно получаем:
\(\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2}\).
Неравенство доказано.