ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.54 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\) и \(ab + bc + ac > a + b + c\). Докажите, что \(a + b + c > 3\).

Начнем с известного неравенства \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ac\). Это неравенство можно получить, например, из \((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0\), раскрывая скобки и деля на 2.

Прибавим \(2ab + 2bc + 2ac\) к обеим частям неравенства \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ac\). Получим \(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac \ge ab + bc + ac + 2ab + 2bc + 2ac\). Левая часть является полным квадратом суммы, а правая часть упрощается: \((a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ac)\).

Из условия задачи нам дано, что \(ab + bc + ac \ge a + b + c\). Используя это, мы можем подставить \((a + b + c)\) вместо \((ab + bc + ac)\) в предыдущее неравенство, так как \((ab + bc + ac)\) не меньше \((a + b + c)\). Таким образом, мы получаем: \((a + b + c)^2 \ge 3(a + b + c)\).

Поскольку \(a, b, c > 0\), сумма \((a + b + c)\) строго положительна. Это позволяет нам разделить обе части неравенства на \((a + b + c)\) без изменения знака неравенства. В результате деления получаем: \(a + b + c \ge 3\). Неравенство доказано.

1) Вспомогательное неравенство:

Рассмотрим вспомогательное неравенство, которое всегда истинно для любых действительных чисел \(a, b, c\):
\((a — b)^2 + (b — c)^2 + (c — a)^2 \ge 0\).
Это неравенство верно, так как сумма квадратов действительных чисел всегда неотрицательна.

Раскроем скобки в каждом члене этого неравенства:
\((a^2 — 2ab + b^2) + (b^2 — 2bc + c^2) + (c^2 — 2ac + a^2) \ge 0\).

Сгруппируем подобные члены:
\(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 — 2ab — 2bc — 2ac \ge 0\).
Перенесем отрицательные члены в правую часть неравенства:
\(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \ge 2ab + 2bc + 2ac\).

Разделим обе части неравенства на 2:
\(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ac\).

Теперь прибавим \(2ab + 2bc + 2ac\) к обеим частям полученного неравенства. Это действие не изменит знак неравенства:
\(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac \ge ab + bc + ac + 2ab + 2bc + 2ac\).

Левая часть неравенства является полным квадратом суммы \((a + b + c)^2\). Правая часть упрощается до \(3ab + 3bc + 3ac\).
Таким образом, получаем:
\((a + b + c)^2 \ge 3ab + 3bc + 3ac\).
Вынесем общий множитель 3 из правой части:
\((a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ac)\).

2) В исходном неравенстве:

Согласно условию задачи, нам дано неравенство: \(ab + bc + ac \ge a + b + c\).
Используя это данное условие, мы можем заменить выражение \((ab + bc + ac)\) в полученном ранее неравенстве на \((a + b + c)\), так как \((ab + bc + ac)\) больше или равно \((a + b + c)\).
Следовательно, из \((a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ac)\) и \(ab + bc + ac \ge a + b + c\) вытекает:
\((a + b + c)^2 \ge 3(a + b + c)\).

Поскольку по условию \(a > 0, b > 0, c > 0\), сумма \(a + b + c\) строго положительна. Это позволяет нам разделить обе части неравенства на \((a + b + c)\) без изменения знака неравенства:
\(\frac{(a + b + c)^2}{a + b + c} \ge \frac{3(a + b + c)}{a + b + c}\).

После сокращения получаем требуемое неравенство:
\(a + b + c \ge 3\).
Неравенство доказано.