ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.55 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a > 0\), \(b > 0\) и \(ab > a + b\). Докажите, что \(a + b > 4\).

1) Вспомогательное неравенство:

Начнем с известного факта, что квадрат любого действительного числа неотрицателен: \((a — b)^2 \ge 0\).
Раскрывая скобки, получаем: \(a^2 — 2ab + b^2 \ge 0\).
Прибавим \(4ab\) к обеим частям неравенства: \(a^2 — 2ab + b^2 + 4ab \ge 4ab\).
Это упрощается до: \(a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab\).
Левая часть является квадратом суммы, поэтому: \((a + b)^2 \ge 4ab\). Это вспомогательное неравенство.

2) В исходном неравенстве:

Дано, что \(a > 0\), \(b > 0\) и \(ab \ge a + b\).
Из вспомогательного неравенства имеем \((a + b)^2 \ge 4ab\).
Умножим данное неравенство \(ab \ge a + b\) на \(4\): \(4ab \ge 4(a + b)\).
Объединяя эти два неравенства, получаем: \((a + b)^2 \ge 4ab \ge 4(a + b)\).
Отсюда следует: \((a + b)^2 \ge 4(a + b)\).
Поскольку \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(a + b > 0\). Мы можем разделить обе части неравенства на \((a + b)\) без изменения знака: \(\frac{(a + b)^2}{a + b} \ge \frac{4(a + b)}{a + b}\).
В результате получаем: \(a + b \ge 4\).

Неравенство доказано.

1) Вспомогательное неравенство:

Начнем с фундаментального свойства действительных чисел: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Для любых действительных чисел \(a\) и \(b\), это утверждение выражается как \((a — b)^2 \ge 0\).

Раскроем скобки в выражении \((a — b)^2\), используя формулу квадрата разности, которая гласит, что \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\). Применяя эту формулу к нашему случаю, получаем: \(a^2 — 2ab + b^2 \ge 0\).

Следующим шагом является преобразование этого неравенства для получения формы, которая будет полезной в дальнейшем доказательстве. Для этого мы прибавим член \(4ab\) к обеим частям неравенства \(a^2 — 2ab + b^2 \ge 0\). Добавление одного и того же значения к обеим частям неравенства не изменяет его знак: \(a^2 — 2ab + b^2 + 4ab \ge 0 + 4ab\).

Упростим левую часть этого неравенства, объединив подобные члены: \(a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab\).

Левая часть полученного неравенства, \(a^2 + 2ab + b^2\), является известной формулой квадрата суммы, которая выражается как \((a + b)^2\). Таким образом, мы можем переписать неравенство в более компактной форме: \((a + b)^2 \ge 4ab\). Это неравенство является вспомогательным и будет использоваться в следующем шаге доказательства.

2) В исходном неравенстве:

Нам даны начальные условия задачи: \(a > 0\), \(b > 0\), и ключевое неравенство \(ab \ge a + b\).

Из первого пункта доказательства мы получили вспомогательное неравенство: \((a + b)^2 \ge 4ab\).

Теперь мы используем данное в условии неравенство \(ab \ge a + b\). Умножим обе части этого неравенства на положительное число \(4\). Поскольку мы умножаем на положительное число, знак неравенства останется неизменным: \(4ab \ge 4(a + b)\).

Теперь у нас есть два ключевых неравенства: \((a + b)^2 \ge 4ab\) и \(4ab \ge 4(a + b)\). Объединив эти два неравенства, мы можем установить транзитивное отношение: если \(X \ge Y\) и \(Y \ge Z\), то \(X \ge Z\). Применяя это к нашим неравенствам, получаем: \((a + b)^2 \ge 4ab \ge 4(a + b)\).

Из этого объединенного неравенства следует, что \((a + b)^2 \ge 4(a + b)\).

Для завершения доказательства нам необходимо разделить обе части этого неравенства на \((a + b)\). Важно отметить, что по условию задачи \(a > 0\) и \(b > 0\). Это означает, что их сумма \(a + b\) также будет строго положительной (\(a + b > 0\)). Поскольку мы делим на положительное число, знак неравенства не изменится.

Выполним деление: \(\frac{(a + b)^2}{a + b} \ge \frac{4(a + b)}{a + b}\).

Упростим обе части неравенства. В левой части \((a + b)^2\) делится на \((a + b)\), оставляя \((a + b)\). В правой части \((a + b)\) в числителе и знаменателе сокращаются, оставляя \(4\).

В результате получаем: \(a + b \ge 4\).

Неравенство доказано.