ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.56 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\), то \((x + y + 1)^2 > 4(x^2 + y^2)\).

Доказать, что если \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\), тогда: \((x + y + 1)^2 \geq 4(x^2 + y^2)\).

1) Справедливо неравенство: \(a^2 \leq a\). Это эквивалентно \(a^2 — a \leq 0\), или \(a(a — 1) \leq 0\). Для \(a \in [0; 1]\), \(a \geq 0\) и \(a — 1 \leq 0\), следовательно, их произведение \(a(a — 1) \leq 0\). Таким образом, \(0 \leq a \leq 1\) влечет \(a^2 \leq a\).

2) В исходном неравенстве: Поскольку \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\), из пункта 1 следует, что \(x^2 \leq x\) и \(y^2 \leq y\). Сложив эти неравенства, получаем \(x^2 + y^2 \leq x + y\), откуда \(4(x^2 + y^2) \leq 4(x + y)\). Чтобы доказать исходное неравенство, достаточно доказать, что \((x + y + 1)^2 \geq 4(x + y)\). Раскроем левую часть: \((x + y)^2 + 2(x + y) + 1 \geq 4(x + y)\). Перенесем \(4(x + y)\) влево: \((x + y)^2 — 2(x + y) + 1 \geq 0\). Это выражение является полным квадратом: \(((x + y) — 1)^2 \geq 0\). Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, это неравенство всегда верно. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Доказать, что если \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\), тогда:
\((x + y + 1)^2 \geq 4(x^2 + y^2)\);

1) Справедливо неравенство:
Рассмотрим неравенство \(a^2 \leq a\).
Перенесем \(a\) в левую часть: \(a^2 — a \leq 0\).
Вынесем общий множитель \(a\): \(a(a — 1) \leq 0\).
Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда \(a\) находится между корнями \(0\) и \(1\), включая их. То есть, когда \(0 \leq a \leq 1\). Если \(a \in [0, 1]\), то \(a \geq 0\) и \(a — 1 \leq 0\), следовательно, их произведение \(a(a — 1)\) будет неположительным, то есть \(a(a — 1) \leq 0\).

2) В исходном неравенстве:
Так как по условию \(x \in [0; 1]\) и \(y \in [0; 1]\), то согласно доказанному в пункте 1 неравенству, мы можем утверждать, что \(x^2 \leq x\) и \(y^2 \leq y\).
Сложив эти два неравенства, получаем: \(x^2 + y^2 \leq x + y\).
Умножим обе части неравенства на \(4\): \(4(x^2 + y^2) \leq 4(x + y)\).
Для того чтобы доказать исходное неравенство \((x + y + 1)^2 \geq 4(x^2 + y^2)\), достаточно доказать более сильное неравенство:
\((x + y + 1)^2 \geq 4(x + y)\).
Раскроем скобки в левой части:
\((x + y)^2 + 2(x + y) + 1 \geq 4(x + y)\).
Перенесем \(4(x + y)\) в левую часть неравенства:
\((x + y)^2 + 2(x + y) + 1 — 4(x + y) \geq 0\).
Приведем подобные члены:
\((x + y)^2 — 2(x + y) + 1 \geq 0\).
Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности:
\(((x + y) — 1)^2 \geq 0\).
Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, последнее неравенство \(((x + y) — 1)^2 \geq 0\) всегда истинно.
Следовательно, исходное неравенство \((x + y + 1)^2 \geq 4(x^2 + y^2)\) доказано.