ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.57 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1} < 2\), где \(n \in \mathbb{N}\).

Для доказательства неравенства \(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1} < 2\) при \(n \in \mathbb{N}\), сначала используем вспомогательное неравенство. Для любого \(k \ge 1\), справедливо \(n+k \ge n+1\). Отсюда следует, что \(\frac{1}{n+k} \le \frac{1}{n+1}\). Далее, рассмотрим исходную сумму. Количество членов в сумме от \(\frac{1}{n+1}\) до \(\frac{1}{3n+1}\) равно \((3n+1) - (n+1) + 1 = 2n+1\). Применяя вспомогательное неравенство к каждому члену суммы, получаем: \(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1} \le \underbrace{\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \dots + \frac{1}{n+1}}_{\text{2n+1 раз}}\). Правая часть равна \((2n+1) \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{2n+1}{n+1}\). Преобразуем выражение \(\frac{2n+1}{n+1}\): \(\frac{2n+1}{n+1} = \frac{2(n+1) - 1}{n+1} = 2 - \frac{1}{n+1}\). Так как \(n \in \mathbb{N}\), то \(n \ge 1\), следовательно \(n+1 \ge 2\). Отсюда \(\frac{1}{n+1} > 0\).
Таким образом, \(2 — \frac{1}{n+1} < 2\). Объединяя все части, получаем: \(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1} \le 2 - \frac{1}{n+1} < 2\). Что и требовалось доказать.

Доказать неравенство при \(n \in \mathbb{N}\):
\(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1} < 2\) 1) Вспомогательное неравенство: Рассмотрим вспомогательное неравенство для членов суммы. Для любого натурального числа \(k \in \mathbb{N}\), если \(k \ge 1\), то справедливо неравенство \(n+k \ge n+1\). Из этого неравенства следует, что если мы возьмем обратные величины, то знак неравенства изменится: \(\frac{1}{n+k} \le \frac{1}{n+1}\). Это неравенство будет использоваться для оценки каждого члена суммы в исходном выражении. 2) В исходном неравенстве: Исходная сумма имеет вид: \(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1}\). Чтобы определить количество членов в этой сумме, мы можем использовать формулу: последний индекс минус первый индекс плюс один. Здесь индексы в знаменателе начинаются с \(n+1\) и заканчиваются на \(3n+1\). Количество членов = \((3n+1) - (n+1) + 1 = 3n+1 - n - 1 + 1 = 2n+1\). Теперь, используя вспомогательное неравенство \(\frac{1}{n+k} \le \frac{1}{n+1}\) для каждого члена суммы, мы можем оценить исходную сумму сверху: \(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1} \le \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \dots + \frac{1}{n+1}\). Поскольку в правой части неравенства у нас \(2n+1\) одинаковых слагаемых \(\frac{1}{n+1}\), их сумма равна: \((2n+1) \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{2n+1}{n+1}\). Далее, преобразуем выражение \(\frac{2n+1}{n+1}\): \(\frac{2n+1}{n+1} = \frac{2(n+1) - 2 + 1}{n+1} = \frac{2(n+1) - 1}{n+1}\). Разделим числитель на знаменатель: \(\frac{2(n+1) - 1}{n+1} = \frac{2(n+1)}{n+1} - \frac{1}{n+1} = 2 - \frac{1}{n+1}\). Теперь мы имеем: \(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1} \le 2 - \frac{1}{n+1}\). Поскольку \(n \in \mathbb{N}\), минимальное значение для \(n\) равно 1. Следовательно, \(n+1 \ge 1+1 = 2\). Это означает, что \(\frac{1}{n+1}\) является положительным числом, то есть \(\frac{1}{n+1} > 0\).
Из этого следует, что \(2 — \frac{1}{n+1} < 2\). Объединяя полученные неравенства, получаем: \(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1} \le 2 - \frac{1}{n+1} < 2\). Таким образом, исходное неравенство \(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1} < 2\) доказано.