ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.58 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\) и \(xyz = 1\), то \(\frac{xy^2}{x^3 + 2} + \frac{yz^2}{y^3 + 2} + \frac{zx^2}{z^3 + 2} \geq 1\).

Докажите, что если \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\) и \(xyz = 1\), тогда:
\(\frac{xy^2}{x^3+2} + \frac{yz^2}{y^3+2} + \frac{zx^2}{z^3+2} \ge 1\);

1) Если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), тогда:
\((a — b)^2 \ge 0\);
\(a^2 — 2ab + b^2 \ge 0\)
\(a^2 + b^2 \ge 2ab\);
\(a^2 + b^2 + c^2 \ge 2ab + c^2\);
\(\frac{1}{c^2+2ab} \ge \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} \quad \cdot a^2\);
\(\frac{ca^2}{c^3 + 2abc} \ge \frac{a^2}{a^2 + b^2 + c^2}\);

2) В исходном неравенстве:
\(\frac{xy^2}{x^3 + 2xyz} + \frac{yz^2}{y^3 + 2xyz} + \frac{zx^2}{z^3 + 2xyz} \ge \frac{y^2 + z^2 + x^2}{x^2 + y^2 + z^2}\);
\(\frac{xy^2}{x^3+2} + \frac{yz^2}{y^3+2} + \frac{zx^2}{z^3+2} \ge 1\);

Неравенство доказано.

Докажите, что если \(x > 0\), \(y > 0\), \(z > 0\) и \(xyz = 1\), тогда:
\(\frac{xy^2}{x^3+2} + \frac{yz^2}{y^3+2} + \frac{zx^2}{z^3+2} \ge 1\);

1) Если \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\), тогда:
\((a — b)^2 \ge 0\);
\(a^2 — 2ab + b^2 \ge 0\);
\(a^2 + b^2 \ge 2ab\);
\(a^2 + b^2 + c^2 \ge 2ab + c^2\);
Из неравенства \(a^2 + b^2 \ge 2ab\) следует, что \(a^2 + b^2 + c^2 \ge 2ab + c^2\).
Поскольку \(a, b, c > 0\), все члены положительны.
Из \(a^2 + b^2 + c^2 \ge 2ab + c^2\) следует, что \(a^2 + b^2 + c^2 \ge c^2 + 2ab\).
Так как обе части неравенства положительны, и \(c^2 + 2ab \le a^2 + b^2 + c^2\), то обратные величины будут в обратном отношении:
\(\frac{1}{c^2+2ab} \ge \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2}\).
Умножим обе части неравенства на \(a^2\) (поскольку \(a^2 > 0\), знак неравенства не изменится):
\(\frac{a^2}{c^2+2ab} \ge \frac{a^2}{a^2 + b^2 + c^2}\).
Перепишем левую часть, умножив числитель и знаменатель на \(c\):
\(\frac{ca^2}{c(c^2+2ab)} \ge \frac{a^2}{a^2 + b^2 + c^2}\).
Что эквивалентно:
\(\frac{ca^2}{c^3 + 2abc} \ge \frac{a^2}{a^2 + b^2 + c^2}\).

2) В исходном неравенстве:
Так как \(xyz = 1\), то \(2 = 2xyz\).
Подставим \(2xyz\) вместо \(2\) в знаменатели каждого члена левой части исходного неравенства:
\(\frac{xy^2}{x^3+2} + \frac{yz^2}{y^3+2} + \frac{zx^2}{z^3+2} = \frac{xy^2}{x^3+2xyz} + \frac{yz^2}{y^3+2xyz} + \frac{zx^2}{z^3+2xyz}\).
Вынесем общие множители из знаменателей:
\(\frac{xy^2}{x(x^2+2yz)} + \frac{yz^2}{y(y^2+2xz)} + \frac{zx^2}{z(z^2+2xy)}\).
Сократим дроби:
\(\frac{y^2}{x^2+2yz} + \frac{z^2}{y^2+2xz} + \frac{x^2}{z^2+2xy}\).
Теперь применим неравенство, доказанное в пункте 1, в форме \(\frac{A^2}{C^2+2AB} \ge \frac{A^2}{A^2+B^2+C^2}\).

Для первого члена \(\frac{y^2}{x^2+2yz}\):
Пусть \(A=y\), \(C=x\), \(B=z\). Тогда:
\(\frac{y^2}{x^2+2yz} \ge \frac{y^2}{y^2+z^2+x^2}\).

Для второго члена \(\frac{z^2}{y^2+2xz}\):
Пусть \(A=z\), \(C=y\), \(B=x\). Тогда:
\(\frac{z^2}{y^2+2xz} \ge \frac{z^2}{z^2+x^2+y^2}\).

Для третьего члена \(\frac{x^2}{z^2+2xy}\):
Пусть \(A=x\), \(C=z\), \(B=y\). Тогда:
\(\frac{x^2}{z^2+2xy} \ge \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\).

Сложим эти три неравенства:
\(\frac{y^2}{x^2+2yz} + \frac{z^2}{y^2+2xz} + \frac{x^2}{z^2+2xy} \ge \frac{y^2}{x^2+y^2+z^2} + \frac{z^2}{x^2+y^2+z^2} + \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\).
Правая часть неравенства равна:
\(\frac{y^2+z^2+x^2}{x^2+y^2+z^2} = 1\).
Таким образом, мы получили:
\(\frac{xy^2}{x^3+2} + \frac{yz^2}{y^3+2} + \frac{zx^2}{z^3+2} \ge 1\).

Неравенство доказано.