ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.59 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 > (a + b + c + d)e\).

Доказать неравенство:
\(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge (a + b + c + d)e\);
\((a^2 — ae + \frac{1}{4}e^2) + (b^2 — be + \frac{1}{4}e^2) + (c^2 — ce + \frac{1}{4}e^2) + (d^2 — de + \frac{1}{4}e^2) \ge 0\);
\((a — \frac{1}{2}e)^2 + (b — \frac{1}{2}e)^2 + (c — \frac{1}{2}e)^2 + (d — \frac{1}{2}e)^2 \ge 0\);
Неравенство доказано.

Доказать неравенство:

Данное неравенство: \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge (a + b + c + d)e\).

Первым шагом перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы справа остался ноль. Для этого вычтем \((a + b + c + d)e\) из обеих частей неравенства:
\(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 — (a + b + c + d)e \ge 0\).
Раскроем скобки в члене \((a + b + c + d)e\):
\(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 — ae — be — ce — de \ge 0\).

Далее, мы хотим преобразовать левую часть неравенства в сумму полных квадратов. Для каждого члена вида \(x^2 — xe\), где \(x\) может быть \(a, b, c, d\), мы можем добавить \(\left(\frac{e}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}e^2\), чтобы сформировать полный квадрат \(\left(x — \frac{e}{2}\right)^2\).
Заметим, что в исходном неравенстве присутствует член \(e^2\). Мы можем распределить этот \(e^2\) между четырьмя членами, которые мы хотим превратить в полные квадраты. Поскольку у нас четыре таких члена (для \(a, b, c, d\)), и каждый из них требует \(\frac{1}{4}e^2\) для завершения квадрата, общая сумма \(\frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}e^2 = 4 \cdot \frac{1}{4}e^2 = e^2\). Это в точности соответствует члену \(e^2\), который уже есть в левой части неравенства.

Таким образом, мы можем сгруппировать члены следующим образом:
\((a^2 — ae + \frac{1}{4}e^2) + (b^2 — be + \frac{1}{4}e^2) + (c^2 — ce + \frac{1}{4}e^2) + (d^2 — de + \frac{1}{4}e^2) \ge 0\).

Каждая из этих скобок является полным квадратом:
\((a — \frac{1}{2}e)^2 = a^2 — 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2}e + \left(\frac{1}{2}e\right)^2 = a^2 — ae + \frac{1}{4}e^2\).
Аналогично для других членов.
Следовательно, неравенство преобразуется в:
\(\left(a — \frac{1}{2}e\right)^2 + \left(b — \frac{1}{2}e\right)^2 + \left(c — \frac{1}{2}e\right)^2 + \left(d — \frac{1}{2}e\right)^2 \ge 0\).

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть \((x)^2 \ge 0\) для любого действительного \(x\)), то сумма нескольких неотрицательных чисел также будет неотрицательной. Каждое слагаемое в левой части \(\left(a — \frac{1}{2}e\right)^2\), \(\left(b — \frac{1}{2}e\right)^2\), \(\left(c — \frac{1}{2}e\right)^2\) и \(\left(d — \frac{1}{2}e\right)^2\) является квадратом действительного числа и, следовательно, больше или равно нулю.

Таким образом, их сумма также больше или равна нулю, что и требовалось доказать.

Неравенство доказано.