ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x > 4\), то \(x^3 — 4x^2 + 2x — 8 > 0\).

Первое, что нужно сделать, это рассмотреть условие \( x \geq 4 \). Наша цель — доказать, что при этом выполняется неравенство \( x^3 — 4x^2 + 2x — 8 \geq 0 \).

Преобразуем выражение: \( x^3 — 4x^2 + 2x — 8 = x^2(x — 4) + 2(x — 4) = (x — 4)(x^2 + 2) \). Теперь анализируем неравенство \( (x — 4)(x^2 + 2) \geq 0 \).

Поскольку \( x \geq 4 \), то \( x — 4 \geq 0 \). Также \( x^2 + 2 > 0 \) для всех \( x \), так как \( x^2 \geq 0 \), а добавление 2 делает выражение строго положительным.

Таким образом, произведение \( (x — 4)(x^2 + 2) \) при \( x \geq 4 \) всегда неотрицательно, что подтверждает неравенство \( x^3 — 4x^2 + 2x — 8 \geq 0 \).

1. Для начала рассмотрим условие задачи: нам нужно доказать, что если \( x \geq 4 \), то выполняется неравенство \( x^3 — 4x^2 + 2x — 8 \geq 0 \). Это означает, что при всех значениях \( x \), больших или равных 4, заданное выражение должно быть неотрицательным.

2. Перейдем к преобразованию выражения \( x^3 — 4x^2 + 2x — 8 \). Для упрощения анализа попробуем представить его в факторизованном виде. Заметим, что можно сгруппировать члены следующим образом: \( x^3 — 4x^2 + 2x — 8 = (x^3 — 4x^2) + (2x — 8) \). Выносим общий множитель в каждой группе: \( x^2(x — 4) + 2(x — 4) \).

3. Теперь очевидно, что выражение можно записать как \( (x — 4)(x^2 + 2) \). Таким образом, исходное неравенство \( x^3 — 4x^2 + 2x — 8 \geq 0 \) эквивалентно \( (x — 4)(x^2 + 2) \geq 0 \). Это произведение двух множителей, и нам нужно определить, при каких условиях оно неотрицательно.

4. Рассмотрим каждый множитель отдельно. Первый множитель \( x — 4 \) зависит от значения \( x \). Поскольку по условию \( x \geq 4 \), то \( x — 4 \geq 0 \). Это означает, что первый множитель либо равен нулю (при \( x = 4 \)), либо положителен (при \( x > 4 \)).

5. Второй множитель \( x^2 + 2 \) всегда положителен для любых действительных значений \( x \). Это легко проверить: \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), а добавление 2 делает выражение строго больше нуля, то есть \( x^2 + 2 > 0 \).

6. Теперь проанализируем произведение \( (x — 4)(x^2 + 2) \). Поскольку второй множитель \( x^2 + 2 \) всегда положителен, знак произведения определяется только первым множителем \( x — 4 \). При \( x \geq 4 \) первый множитель \( x — 4 \geq 0 \), а второй множитель \( x^2 + 2 > 0 \), следовательно, их произведение \( (x — 4)(x^2 + 2) \geq 0 \).

7. Таким образом, при \( x \geq 4 \) неравенство \( (x — 4)(x^2 + 2) \geq 0 \) выполняется. Это подтверждает, что исходное выражение \( x^3 — 4x^2 + 2x — 8 \geq 0 \) также истинно для всех \( x \geq 4 \).

8. Для наглядности можно подставить конкретное значение \( x = 4 \) и проверить: \( 4^3 — 4 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 — 8 = 64 — 64 + 8 — 8 = 0 \), что удовлетворяет неравенству \( \geq 0 \).

9. Также проверим для \( x = 5 \): \( 5^3 — 4 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 — 8 = 125 — 100 + 10 — 8 = 27 \), что больше 0, и неравенство снова выполняется.

10. На основании вышеизложенного заключаем, что неравенство \( x^3 — 4x^2 + 2x — 8 \geq 0 \) доказано для всех \( x \geq 4 \), так как факторизованное выражение \( (x — 4)(x^2 + 2) \) всегда неотрицательно в заданной области.