ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.60 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\frac{2}{2} + \frac{3}{3} + \dots + \frac{n+1}{(n+1)^2} < 1\), где \(n \in \mathbb{N}\).

Доказать неравенство при \(n \in N\):
\( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{(n+1)^2} < 1; \) 1) Вспомогательное неравенство: \( k^2 - k < k^2, k \in N; \) \( (k-1)k < k^2; \) 2) Выполняется неравенство: \( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)}; \) 3) Сумма правой части неравенства: \( S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)}; \) \( S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} < 1; \) \( \frac{1}{n+1} > 0; \)
\( n > -1; \)

Неравенство доказано.

Доказать неравенство при \(n \in N\):
\( \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{(n+1)^{2}} < 1; \) 1) Вспомогательное неравенство: Для доказательства исходного неравенства воспользуемся вспомогательным неравенством. Для любого натурального числа \(k \in N\), где \(k \geq 2\), справедливо неравенство \(k^{2} - k < k^{2}\). Это неравенство можно переписать в виде \(k(k-1) < k^{2}\). Деление обеих частей этого неравенства на \(k^{2}(k-1)\) (что возможно, так как \(k \geq 2\), и следовательно, \(k^{2}(k-1)\) положительно) дает нам ключевое вспомогательное неравенство: \( \frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{k(k-1)} \). Это неравенство будет использовано для оценки каждого члена суммы в левой части исходного выражения. 2) Выполняется неравенство: Применим доказанное вспомогательное неравенство к каждому члену суммы в левой части исходного выражения. Для первого члена суммы, где \(k=2\), имеем: \( \frac{1}{2^{2}} < \frac{1}{2(2-1)} = \frac{1}{1 \cdot 2} \). Для второго члена суммы, где \(k=3\), имеем: \( \frac{1}{3^{2}} < \frac{1}{3(3-1)} = \frac{1}{2 \cdot 3} \). И так далее, для общего члена суммы, где \(k=n+1\), имеем: \( \frac{1}{(n+1)^{2}} < \frac{1}{(n+1)((n+1)-1)} = \frac{1}{n(n+1)} \). Суммируя все эти неравенства, получаем: \( \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{(n+1)^{2}} < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)}; \) Таким образом, левая часть исходного неравенства оказывается меньше суммы ряда, представленного в правой части. 3) Сумма правой части неравенства: Теперь необходимо вычислить сумму ряда, который находится в правой части неравенства: Пусть \( S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} \). Каждый член этого ряда можно представить в виде разности двух дробей, используя метод телескопической суммы (разложение на простейшие дроби): \( \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \). Применяя это разложение к каждому члену суммы \(S\), получаем: \( \frac{1}{1 \cdot 2} = 1 - \frac{1}{2} \) \( \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \) \( \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \) ... \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \) Суммируя эти разложения, все промежуточные члены взаимно уничтожаются: \( S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \) Так как \(n \in N\), \(n\) является натуральным числом, а значит, \(n \geq 1\). Из этого следует, что \(n+1 \geq 2\). Следовательно, дробь \( \frac{1}{n+1} \) всегда положительна (\( \frac{1}{n+1} > 0 \)).
Поскольку мы вычитаем положительное число \( \frac{1}{n+1} \) из 1, сумма \(S\) всегда будет меньше 1: \( S = 1 — \frac{1}{n+1} < 1 \). Также из условия \( \frac{1}{n+1} > 0 \) следует, что \( n+1 > 0 \), что для натуральных \(n\) всегда выполняется, и означает \( n > -1 \).

Таким образом, мы показали, что:
\( \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{(n+1)^{2}} < S = 1 - \frac{1}{n+1} < 1 \). Следовательно, исходное неравенство \( \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{(n+1)^{2}} < 1 \) доказано.