ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.61 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{4}{3 \cdot 5} + \frac{6}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{2n}{(2n-1)(2n+1)} < \frac{1}{2}\), где \(n \in \mathbb{N}\).

Доказать неравенство при n ∈ N:
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\) 1) Зададим следующие значения: \(A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n}\), \(B = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n}{2n+1}\) 2) Произведение выражений: \(AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{1}{2n+1}\) 3) Сравним значения выражений: \(\frac{A}{B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n+1}{2n}\); \(\frac{A}{B} = \frac{3}{4} \cdot \frac{15}{16} \cdot \frac{35}{36} \cdots \frac{4n^2-1}{4n^2} < 1\); \(A < B\) \(|\cdot A\); \(A^2 < AB\); \(A < \sqrt{AB}\); \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\); Неравенство доказано.

Доказать неравенство при \(n \in N\): \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\) 1) Зададим следующие значения: Для доказательства данного неравенства введем две вспомогательные величины, \(A\) и \(B\). Величина \(A\) определяется как левая часть доказываемого неравенства: \(A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n}\). Величина \(B\) определяется как произведение, в котором числители и знаменатели являются последовательными четными и нечетными числами, начиная с \(2/3\): \(B = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n}{2n+1}\). 2) Произведение выражений: Вычислим произведение \(AB\). При умножении \(A\) на \(B\) многие промежуточные члены сокращаются. \(AB = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n}\right) \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n}{2n+1}\right)\). Перегруппируем члены для наглядности сокращений: \(AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n}{2n+1}\). Каждый числитель, начиная со второго члена, сокращается со знаменателем предыдущего члена. В результате остается только числитель первого члена и знаменатель последнего члена. Таким образом, \(AB = \frac{1}{2n+1}\). 3) Сравним значения выражений: Для сравнения \(A\) и \(B\) рассмотрим их отношение \(\frac{A}{B}\). \(\frac{A}{B} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n}{2n+1}}\). Перепишем это отношение, группируя члены: \(\frac{A}{B} = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\right) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4}\right) \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{6}\right) \cdots \left(\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n+1}{2n}\right)\). Выполняем умножение в каждой скобке: \(\frac{A}{B} = \frac{3}{4} \cdot \frac{15}{16} \cdot \frac{35}{36} \cdots \frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}\). Общий член \(\frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}\) можно записать как \(\frac{4n^2-1}{4n^2}\). Поскольку \(4n^2-1 < 4n^2\), каждый член в произведении \(\frac{A}{B}\) меньше 1. Например, \(\frac{3}{4} < 1\), \(\frac{15}{16} < 1\) и так далее. Следовательно, произведение всех этих членов также меньше 1: \(\frac{A}{B} < 1\). Поскольку \(A\) и \(B\) являются произведениями положительных чисел, они сами положительны. Из неравенства \(\frac{A}{B} < 1\) следует, что \(A < B\). Умножим обе части неравенства \(A < B\) на \(A\). Так как \(A > 0\), знак неравенства не изменится:
\(A \cdot A < A \cdot B\), что дает \(A^2 < AB\). Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства. Поскольку обе части положительны, знак неравенства сохраняется: \(\sqrt{A^2} < \sqrt{AB}\), что упрощается до \(A < \sqrt{AB}\). Подставим значение \(AB\), найденное в пункте 2, то есть \(AB = \frac{1}{2n+1}\): \(A < \sqrt{\frac{1}{2n+1}}\). Это можно переписать как \(A < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\). Возвращаясь к определению \(A\), получаем искомое неравенство: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\). Неравенство доказано.