ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.62 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n} \geq \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\), где \(n \in \mathbb{N}\), \(n > 1\).

Доказать неравенство при \(n \in N\), \(n > 1\):
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} > \frac{1}{2\sqrt{n}}\)

1) Зададим следующие значения:
\(A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8} \cdots \frac{2n-1}{2n}\)
\(B = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}\)

2) Произведение выражений:
\(AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}\)
\(AB = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{6}{8} \cdots \frac{2n-2}{2n} = \frac{2}{4 \cdot 2n} = \frac{1}{4n}\)

3) Сравним значения выражений:
\(\frac{A}{B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-1}{2n-2}\)
\(\frac{A}{B} = 1 \cdot \frac{9}{8} \cdot \frac{25}{24} \cdot \frac{49}{48} \cdots \frac{(2n-1)^2}{(2n-1)^2 — 1} > 1\)
\(A > B \mid \cdot A\)
\(A^2 > AB\)
\(A > \sqrt{AB}\)
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} > \frac{1}{2\sqrt{n}}\)

Неравенство доказано.

Доказать неравенство при \(n \in N\), \(n > 1\):
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} > \frac{1}{2\sqrt{n}}\)

1) Зададим следующие значения:
Пусть \(A\) будет выражением, которое нужно оценить:
\(A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8} \cdots \frac{2n-1}{2n}\)
Определим вспомогательное выражение \(B\):
\(B = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}\)

2) Произведение выражений:
Вычислим произведение \(AB\):
\(AB = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}\right)\)
Перегруппируем члены для удобства сокращения:
\(AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7}\right) \cdots \left(\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}\right)\)
Сокращая общие множители в скобках, получаем:
\(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{4}\)
\(\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{6}\)
\(\frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{8}\)
и так далее до
\(\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} = \frac{2n-2}{2n}\)
Таким образом, произведение \(AB\) принимает вид:
\(AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{6}{8} \cdots \frac{2n-2}{2n}\)
\(AB = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{6}{8} \cdots \frac{2n-2}{2n}\)
Это телескопическое произведение, где числитель каждого последующего члена (начиная со второго) сокращается со знаменателем предыдущего члена.
В итоге остается числитель первого члена и знаменатель последнего члена:
\(AB = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2n} = \frac{1}{4n}\)

3) Сравним значения выражений:
Рассмотрим отношение \(\frac{A}{B}\):
\(\frac{A}{B} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}}\)
Разделим каждый член \(A\) на соответствующий член \(B\):
\(\frac{A}{B} = \left(\frac{1}{2} \div \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{3}{4} \div \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{5}{6} \div \frac{4}{5}\right) \cdots \left(\frac{2n-1}{2n} \div \frac{2n-2}{2n-1}\right)\)
\(\frac{A}{B} = 1 \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}\right) \cdot \left(\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{4}\right) \cdots \left(\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-1}{2n-2}\right)\)
Упростим каждую скобку:
\(\frac{A}{B} = 1 \cdot \frac{9}{8} \cdot \frac{25}{24} \cdot \frac{49}{48} \cdots \frac{(2n-1)^2}{(2n)(2n-2)}\)
Заметим, что \((2n)(2n-2) = 4n^2 — 4n\), а \((2n-1)^2 — 1 = (4n^2 — 4n + 1) — 1 = 4n^2 — 4n\).
Таким образом, общий член произведения можно записать как \(\frac{(2k-1)^2}{(2k-1)^2 — 1}\) для \(k \ge 2\).
Поскольку для \(k \ge 2\), \((2k-1)^2 > (2k-1)^2 — 1\), каждая дробь \(\frac{(2k-1)^2}{(2k-1)^2 — 1}\) больше 1.
Следовательно, \(\frac{A}{B} > 1\), что означает \(A > B\).

Поскольку \(A > B\) и \(A > 0\), мы можем умножить обе части неравенства на \(A\):
\(A \cdot A > B \cdot A\)
\(A^2 > AB\)

Подставим найденное значение \(AB = \frac{1}{4n}\):
\(A^2 > \frac{1}{4n}\)

Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства. Поскольку \(A\) является произведением положительных чисел, \(A > 0\).
\(A > \sqrt{\frac{1}{4n}}\)
\(A > \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4n}}\)
\(A > \frac{1}{2\sqrt{n}}\)

Подставим обратно выражение для \(A\):
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} > \frac{1}{2\sqrt{n}}\)

Неравенство доказано.