ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.63 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n}} > \frac{\sqrt{2n} — 1}{2}\), где \(n \in \mathbb{N}\).

Доказать неравенство при \(n \in N\):
\( \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} > \frac{\sqrt{2n+1}-1}{2} \);

1) Зададим следующие значения:
\( A = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} \);
\( B = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}} \);

2) Вспомогательное равенство:
\( \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-(k+1)} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k} \);

3) Сумма выражений:
\( A+B = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}} \);
\( A+B = (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}) \);
\( A+B = -\sqrt{1} + \sqrt{2n+1} = \sqrt{2n+1}-1 \);

4) Очевидно, что \(A > B\), значит:
\( 2A > A+B \), \( A > \frac{A+B}{2} \);
\( \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} > \frac{\sqrt{2n+1}-1}{2} \);

Неравенство доказано.

Доказать неравенство при \(n \in N\):
\( \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} > \frac{\sqrt{2n+1}-1}{2} \)

1) Зададим следующие значения:
\( A = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} \);
\( B = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}} \).

2) Вспомогательное равенство:
Рассмотрим общий член вида \( \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} \). Для упрощения знаменателя умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{k}-\sqrt{k+1} \):
\( \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} \cdot \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{(\sqrt{k})^2-(\sqrt{k+1})^2}= \) \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-(k+1)} = \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{-1} =\)
\(= -(\sqrt{k}-\sqrt{k+1}) = \sqrt{k+1}-\sqrt{k} \).
Таким образом, \( \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k} \).

3) Сумма выражений \(A+B\):
Сложим выражения для \(A\) и \(B\). Заметим, что при сложении образуется непрерывная последовательность членов:
\( A+B = \left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}}\right) +\)
\(+ \left(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}}\right) \).
Перегруппируем члены, чтобы получить последовательный ряд:
\( A+B = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}} \).
Теперь применим вспомогательное равенство из пункта 2 к каждому члену суммы:
\( \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} = \sqrt{2}-\sqrt{1} \)
\( \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \sqrt{3}-\sqrt{2} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \sqrt{4}-\sqrt{3} \)
…
\( \frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n+1}} = \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n} \)
Подставим эти выражения в сумму \(A+B\):
\( A+B = (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}) \).
Это телескопическая сумма, где каждый промежуточный член сокращается с последующим.
В результате останутся только первый и последний члены:
\( A+B = -\sqrt{1} + \sqrt{2n+1} = \sqrt{2n+1}-1 \).

4) Очевидно, что \(A > B\), значит:
Сравним общие члены сумм \(A\) и \(B\). Для \(A\) общий член имеет вид \( \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}} \), а для \(B\) — \( \frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+1}} \).
Поскольку \( \sqrt{2k-1}+\sqrt{2k} < \sqrt{2k}+\sqrt{2k+1} \) для любого \(k \ge 1\), то обратные величины будут удовлетворять неравенству: \( \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}} > \frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+1}} \).
Это означает, что каждый член в сумме \(A\) больше соответствующего члена в сумме \(B\). Следовательно, \(A > B\).
Если \(A > B\), то мы можем прибавить \(A\) к обеим частям неравенства:
\( A + A > A + B \), что дает \( 2A > A+B \).
Разделив обе части на 2, получаем:
\( A > \frac{A+B}{2} \).
Теперь подставим найденное значение \(A+B = \sqrt{2n+1}-1\) из пункта 3:
\( A > \frac{\sqrt{2n+1}-1}{2} \).
Наконец, заменим \(A\) на его исходное выражение:
\( \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} > \frac{\sqrt{2n+1}-1}{2} \).
Неравенство доказано.