ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.65 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \((x^2 — x + 1)^4 — 10x^2(x^2 — x + 1)^2 + 9x^4 = 0\).

\((x^2-x+1)^4 — 10x^2(x^2-x+1)^2 + 9x^4 = 0;\)
\((x^2-x+1)^4 — 10x^2(x^2-x+1)^2 + 25x^4 — 16x^4 = 0;\)
\(((x^2-x+1)^2 — 5x^2)^2 — 16x^4 = 0;\)
\(((x^2-x+1)^2 — 9x^2)((x^2-x+1)^2 — x^2) = 0;\)
\((x^2 — 4x + 1)(x^2 + 2x + 1)(x^2 — 2x + 1)(x^2 + 1) = 0;\)
\((x^2-4x+1)(x + 1)^2(x — 1)^2 = 0;\)
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 = 16 — 4 = 12 = 4 \cdot 3\), тогда:
\(x_1 = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}, x_2 = -1, x_3 = 1;\)
Ответ: \(-1; 1; 2 — \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}.\)

Рассмотрим исходное уравнение: \((x^2-x+1)^4 — 10x^2(x^2-x+1)^2 + 9x^4 = 0\).
Для удобства решения, представим \(9x^4\) как разность \(25x^4 — 16x^4\). Это позволит выделить полный квадрат:
\((x^2-x+1)^4 — 10x^2(x^2-x+1)^2 + 25x^4 — 16x^4 = 0\).

Первые три слагаемых образуют полный квадрат \((A-B)^2 = A^2 — 2AB + B^2\), где \(A = (x^2-x+1)^2\) и \(B = 5x^2\).
Тогда уравнение примет вид:
\(((x^2-x+1)^2 — 5x^2)^2 — 16x^4 = 0\).

Теперь мы имеем разность квадратов \((A^2 — B^2 = (A-B)(A+B))\), где \(A = (x^2-x+1)^2 — 5x^2\) и \(B = \sqrt{16x^4} = 4x^2\).
Разложим уравнение на множители:
\(((x^2-x+1)^2 — 5x^2 — 4x^2)((x^2-x+1)^2 — 5x^2 + 4x^2) = 0\).
Упростим выражения в скобках:
\(((x^2-x+1)^2 — 9x^2)((x^2-x+1)^2 — x^2) = 0\).

Каждый из множителей также является разностью квадратов.
Рассмотрим первый множитель: \((x^2-x+1)^2 — 9x^2\). Здесь \(A = x^2-x+1\) и \(B = \sqrt{9x^2} = 3x\).
\(((x^2-x+1) — 3x)((x^2-x+1) + 3x) = (x^2-4x+1)(x^2+2x+1)\).

Рассмотрим второй множитель: \((x^2-x+1)^2 — x^2\). Здесь \(A = x^2-x+1\) и \(B = x\).
\(((x^2-x+1) — x)((x^2-x+1) + x) = (x^2-2x+1)(x^2+1)\).

Подставим разложенные множители обратно в уравнение:
\((x^2-4x+1)(x^2+2x+1)(x^2-2x+1)(x^2+1) = 0\).

Заметим, что \((x^2+2x+1)\) является полным квадратом \((x+1)^2\), а \((x^2-2x+1)\) является полным квадратом \((x-1)^2\).
Перепишем уравнение с учетом этих преобразований:
\((x^2-4x+1)(x+1)^2(x-1)^2(x^2+1) = 0\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1. \((x+1)^2 = 0\)
\(x+1 = 0\)
\(x_2 = -1\)

2. \((x-1)^2 = 0\)
\(x-1 = 0\)
\(x_3 = 1\)

3. \(x^2+1 = 0\)
\(x^2 = -1\)
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

4. \(x^2-4x+1 = 0\)
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \(D = b^2 — 4ac\).
Здесь \(a=1, b=-4, c=1\).
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 — 4 = 12\).
Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}\).
Разделим числитель и знаменатель на 2:
\(x_1 = 2 \pm \sqrt{3}\).
Таким образом, получаем два корня: \(x_4 = 2 — \sqrt{3}\) и \(x_5 = 2 + \sqrt{3}\).

Все действительные корни уравнения: \(-1, 1, 2 — \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}\).

Ответ: \(-1; 1; 2 — \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}.\)