ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.66 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра \(a\), при которых сумма корней уравнения \(x^2 — (a^2 — 5a)x + 5a — 1 = 0\) равна \(-6\).

Дано уравнение: \(x^2 — (a^2 — 5a)x + 5a — 1 = 0\);
1) Сумма корней уравнения равна — 6:
\(x_1 + x_2 = a^2 — 5a = -6\);
\(a^2 — 5a + 6 = 0\);
\(D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\), тогда:
\(a_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\) и \(a_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\);
2) Первое значение:
\(x^2 — (2^2 — 5 \cdot 2)x + 5 \cdot 2 — 1 = 0\);
\(x^2 + 6x + 9 = 0\);
\((x + 3)^2 = 0\);
\(x = -3\);
3) Второе значение:
\(x^2 — (3^2 — 5 \cdot 3)x + 5 \cdot 3 — 1 = 0\);
\(x^2 + 6x + 14 = 0\);
\(D = 6^2 — 4 \cdot 14 = 36 — 56 = -20 < 0\); \(D < 0\), значит \(x \in \emptyset\); Ответ: \(a = 2\).

Дано уравнение: \(x^2 — (a^2 — 5a)x + 5a — 1 = 0\).

1) Сумма корней уравнения равна — 6:
Для квадратного уравнения вида \(Ax^2 + Bx + C = 0\), сумма корней \(x_1 + x_2\) определяется как \(-\frac{B}{A}\).
В данном уравнении \(A = 1\), \(B = -(a^2 — 5a)\), и \(C = 5a — 1\).
Следовательно, сумма корней равна \(x_1 + x_2 = -\frac{-(a^2 — 5a)}{1} = a^2 — 5a\).
По условию задачи, сумма корней равна \(-6\).
Приравниваем полученное выражение к \(-6\): \(a^2 — 5a = -6\).
Переносим \(-6\) в левую часть уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: \(a^2 — 5a + 6 = 0\).
Для решения этого квадратного уравнения относительно \(a\) найдем дискриминант \(D\). Формула дискриминанта: \(D = b^2 — 4ac\).
В нашем случае \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\).
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни \(a\) находятся по формуле \(a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
\(a_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
\(a_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
Таким образом, получены два возможных значения для \(a\): \(a=2\) и \(a=3\).

2) Первое значение:
Рассмотрим случай, когда \(a = 2\).
Подставим \(a = 2\) в исходное уравнение \(x^2 — (a^2 — 5a)x + 5a — 1 = 0\).
Вычислим коэффициент при \(x\): \(a^2 — 5a = 2^2 — 5 \cdot 2 = 4 — 10 = -6\).
Вычислим свободный член: \(5a — 1 = 5 \cdot 2 — 1 = 10 — 1 = 9\).
Подставив эти значения, уравнение принимает вид: \(x^2 — (-6)x + 9 = 0\), что упрощается до \(x^2 + 6x + 9 = 0\).
Это уравнение является полным квадратом суммы: \((x + 3)^2 = 0\).
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: \(x + 3 = 0\).
Следовательно, \(x = -3\).

3) Второе значение:
Рассмотрим случай, когда \(a = 3\).
Подставим \(a = 3\) в исходное уравнение \(x^2 — (a^2 — 5a)x + 5a — 1 = 0\).
Вычислим коэффициент при \(x\): \(a^2 — 5a = 3^2 — 5 \cdot 3 = 9 — 15 = -6\).
Вычислим свободный член: \(5a — 1 = 5 \cdot 3 — 1 = 15 — 1 = 14\).
Подставив эти значения, уравнение принимает вид: \(x^2 — (-6)x + 14 = 0\), что упрощается до \(x^2 + 6x + 14 = 0\).
Для решения этого квадратного уравнения относительно \(x\) найдем дискриминант \(D\).
В нашем случае \(a=1\), \(b=6\), \(c=14\).
\(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 14 = 36 — 56 = -20\).
Так как дискриминант \(D < 0\), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Множество решений для \(x\) является пустым: \(x \in \emptyset\). Ответ: \(a = 2\).