ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(a + \frac{1}{a} \geq 2\).

Первое неравенство, которое нужно доказать, выглядит как \(\frac{a^4 + 1}{2} \geq a^2\). Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \(a^4 + 1 \geq 2a^2\). Перенесем все члены в одну сторону: \(a^4 — 2a^2 + 1 \geq 0\). Заметим, что это можно записать как \((a^2 — 1)^2 \geq 0\), что всегда верно, так как квадрат любого выражения неотрицателен.

Второе неравенство: \(\frac{(a^4 + 1) — 2a^2}{2(a^4 + 1)} \geq 0\). Числитель преобразуем как \((a^2 — 1)^2\), а знаменатель оставим как есть. Получаем \(\frac{(a^2 — 1)^2}{2(a^4 + 1)} \geq 0\). Поскольку числитель всегда неотрицателен, а знаменатель положителен при \(a^4 + 1 > 0\) (что всегда верно), неравенство выполняется.

Таким образом, оба неравенства доказаны на основе свойств квадратов и положительности выражений.

1. Рассмотрим первое неравенство \(\frac{a^4 + 1}{2} \geq a^2\). Наша цель — доказать, что данное выражение выполняется для всех действительных значений \(a\). Для этого начнем с упрощения неравенства. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби в левой части. Получаем \(a^4 + 1 \geq 2a^2\). Это преобразование допустимо, так как 2 — положительное число, и неравенство сохраняет свой знак.

Теперь перенесем все члены в левую часть, чтобы привести неравенство к виду, удобному для анализа: \(a^4 + 1 — 2a^2 \geq 0\). Упростим выражение: \(a^4 — 2a^2 + 1 \geq 0\). Заметим, что данное выражение можно представить в виде полного квадрата. Действительно, \(a^4 — 2a^2 + 1 = (a^2 — 1)^2\). Таким образом, неравенство принимает вид \((a^2 — 1)^2 \geq 0\).

Очевидно, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть \((a^2 — 1)^2 \geq 0\) выполняется для всех \(a\). Следовательно, исходное неравенство доказано. Равенство достигается, когда \(a^2 — 1 = 0\), то есть при \(a = \pm 1\).

2. Перейдем ко второму неравенству: \(\frac{(a^4 + 1) — 2a^2}{2(a^4 + 1)} \geq 0\). Наша задача — показать, что данное выражение также выполняется для всех действительных \(a\). Сначала упростим числитель. Выражение \((a^4 + 1) — 2a^2\) можно записать как \(a^4 — 2a^2 + 1\), что, как мы уже видели, равно \((a^2 — 1)^2\). Таким образом, неравенство принимает вид \(\frac{(a^2 — 1)^2}{2(a^4 + 1)} \geq 0\).

Теперь проанализируем это выражение. Числитель \((a^2 — 1)^2\) всегда неотрицателен, так как это квадрат, и равен нулю только при \(a^2 = 1\), то есть при \(a = \pm 1\). Знаменатель \(2(a^4 + 1)\) состоит из двух частей: множителя 2, который всегда положителен, и выражения \(a^4 + 1\), которое также всегда положительно, поскольку \(a^4 \geq 0\) для всех \(a\), и добавление 1 гарантирует, что результат больше нуля. Таким образом, знаменатель \(2(a^4 + 1) > 0\) для всех \(a\).

Поскольку числитель всегда неотрицателен, а знаменатель всегда положителен, их частное \(\frac{(a^2 — 1)^2}{2(a^4 + 1)}\) также всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство \(\frac{(a^2 — 1)^2}{2(a^4 + 1)} \geq 0\) выполняется для всех действительных значений \(a\). Равенство достигается, когда числитель равен нулю, то есть при \(a = \pm 1\).

Таким образом, оба неравенства доказаны с учетом всех деталей. Первое неравенство основано на свойстве квадрата, который всегда неотрицателен, а второе — на анализе знаков числителя и знаменателя дроби.