ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если \(a < b\), то \(a < \frac{a+b}{2} < b\).

Докажем, что если \(a < b\), то \(a < \frac{a + b}{2} < b\).

Первое неравенство: \(a < \frac{a + b}{2}\). Умножим обе части на 2: \(2a < a + b\). Вычтем \(a\): \(a < b\), что истинно по условию.

Второе неравенство: \(\frac{a + b}{2} < b\). Умножим обе части на 2: \(a + b < 2b\). Вычтем \(b\): \(a < b\), что также истинно по условию.

Таким образом, неравенство доказано.

Докажем, что если \(a < b\), то \(a < \frac{a + b}{2} < b\). Разобьем доказательство на два неравенства, как указано в задании.

1) Первое неравенство: \(a < \frac{a + b}{2}\). Чтобы доказать это, умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби. Получаем \(2a < a + b\). Теперь вычтем \(a\) из обеих частей: \(2a — a < a + b — a\), что упрощается до \(a < b\). Это условие истинно по предположению задачи, следовательно, первое неравенство доказано.

2) Второе неравенство: \(\frac{a + b}{2} < b\). Аналогично умножим обе части на 2: \(a + b < 2b\). Затем вычтем \(b\) из обеих частей: \(a + b — b < 2b — b\), что упрощается до \(a < b\). Это также истинно по условию задачи, значит, второе неравенство доказано.

Таким образом, оба неравенства выполнены, и мы доказали, что \(a < \frac{a + b}{2} < b\).