Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 17.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что если \(a < b < c\), то \(a < \frac{a+b+c}{3} < c\).
Первое, что следует из условия \(a < b < c\), это неравенства: \(a — b < 0\), \(c — a > 0\), \(a — c < 0\), \(c — b > 0\).
Докажем первое неравенство \(a < \frac{a + b + c}{3}\). Умножим обе части на 3: \(3a < a + b + c\), что эквивалентно \(2a < b + c\), или \(a + a < b + c\), а значит \(a — b < c — a\). Учитывая условие, это выполняется.
Докажем второе неравенство \(\frac{a + b + c}{3} < c\). Умножим обе части на 3: \(a + b + c < 3c\), что эквивалентно \(a + b < 2c\), или \(a + b — c < c\), а значит \(a — c < c — b\). Это также выполняется по условию.
Таким образом, неравенство \(a < \frac{a + b + c}{3} < c\) доказано.
Для доказательства неравенства \(a < \frac{a + b + c}{3} < c\) при условии \(a < b < c\) рассмотрим задачу пошагово, следуя логике из условия.
1) Из условия \(a < b < c\) следует, что \(a — b < 0\), \(c — a > 0\), \(a — c < 0\), \(c — b > 0\). Эти неравенства будут использоваться для подтверждения каждого шага доказательства.
2) Докажем первое неравенство \(a < \frac{a + b + c}{3}\). Для этого умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби: \(3a < a + b + c\). Вычтем \(a\) из обеих частей: \(2a < b + c\). Это можно переписать как \(a + a < b + c\), что эквивалентно \(a — b < c — a\). Учитывая, что \(a — b < 0\) и \(c — a > 0\), неравенство \(a — b < c — a\) выполняется, так как левая часть отрицательная, а правая положительная. Таким образом, первое неравенство доказано.
3) Докажем второе неравенство \(\frac{a + b + c}{3} < c\). Умножим обе части на 3: \(a + b + c < 3c\). Вычтем \(c\) из обеих частей: \(a + b < 2c\). Это можно записать как \(a + b — c < c\), что эквивалентно \(a — c < c — b\). Учитывая, что \(a — c < 0\) и \(c — b > 0\), неравенство \(a — c < c — b\) выполняется, так как левая часть отрицательная, а правая положительная. Таким образом, второе неравенство также доказано.
Итак, мы показали, что при условии \(a < b < c\) выполняется неравенство \(a < \frac{a + b + c}{3} < c\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.