ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для положительных чисел \(a\) и \(b\) докажите неравенство \(\frac{25b}{16} + 256 > 2\).

Для положительных чисел \(a\) и \(b\) доказать неравенство:
\(\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \geq \frac{5}{2}\)

Согласно неравенству Коши:
\(\frac{1}{2} \left( \frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \right) \geq \sqrt{\frac{a}{16b} \cdot \frac{25b}{a}}\)
\(\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \geq 2 \cdot \sqrt{\frac{a}{16b} \cdot \frac{25b}{a}}\)
\(\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \geq 2 \cdot \sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \geq 2 \cdot \frac{5}{4}\)
\(\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \geq \frac{5}{2}\)

Для положительных чисел \(a\) и \(b\) требуется доказать неравенство:
\(\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \geq \frac{5}{2}\)

Согласно неравенству Коши, также известному как неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM), для любых двух неотрицательных чисел \(x\) и \(y\) выполняется следующее соотношение:
\(\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}\)
Это неравенство эквивалентно следующей форме:
\(x+y \geq 2\sqrt{xy}\)
Данное неравенство применимо к положительным числам \(a\) и \(b\), так как все члены в исходном выражении будут положительными.

Применим неравенство Коши к левой части исходного неравенства. В данном случае, пусть \(x = \frac{a}{16b}\) и \(y = \frac{25b}{a}\). Поскольку \(a\) и \(b\) являются положительными числами, то \(x\) и \(y\) также являются положительными числами.
Подставляя эти значения в формулу \(x+y \geq 2\sqrt{xy}\), получаем:
\(\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \geq 2\sqrt{\left(\frac{a}{16b}\right) \cdot \left(\frac{25b}{a}\right)}\)

Теперь упростим выражение, находящееся под знаком квадратного корня.
В произведении \(\left(\frac{a}{16b}\right) \cdot \left(\frac{25b}{a}\right)\) заметим, что переменные \(a\) и \(b\) сокращаются:
\(\frac{a}{16b} \cdot \frac{25b}{a} = \frac{a \cdot 25b}{16b \cdot a}\)
Сокращая \(a\) в числителе и знаменателе, а также \(b\) в числителе и знаменателе, получаем:
\(\frac{25}{16}\)
Таким образом, неравенство принимает вид:
\(\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{25}{16}}\)

Вычислим значение квадратного корня из \(\frac{25}{16}\):
\(\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}\)
Подставим это значение обратно в неравенство:
\(\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \geq 2 \cdot \frac{5}{4}\)

Выполним умножение в правой части неравенства:
\(2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\)
Следовательно, неравенство приобретает окончательный вид:
\(\frac{a}{16b} + \frac{25b}{a} \geq \frac{5}{2}\)

Неравенство доказано.