ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\sqrt{a^2 + 1} — 1 > 1\).

Доказать неравенство:
\(\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \ge 2;\)

Согласно неравенству Коши:
\(\frac{(a^2 + 1) + 1}{2} \ge \sqrt{(a^2 + 1) \cdot 1};\)

\(a^2 + 2 \ge 2\sqrt{a^2 + 1};\)

\(\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \ge 2;\)

Неравенство доказано.

Доказать неравенство:
\(\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \ge 2;\)

Согласно неравенству Коши:

Для доказательства данного неравенства мы можем использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши). Неравенство Коши утверждает, что для любых неотрицательных чисел \(x\) и \(y\) выполняется следующее соотношение: \(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\). Равенство достигается тогда и только тогда, когда \(x = y\).

Рассмотрим выражение в числителе \(a^2 + 2\). Его можно представить как сумму двух слагаемых: \((a^2 + 1) + 1\). Это позволяет нам применить неравенство Коши.

Пусть \(x = a^2 + 1\) и \(y = 1\). Поскольку \(a^2 \ge 0\) для любого действительного числа \(a\), то \(a^2 + 1 \ge 1\). Следовательно, оба числа \(x = a^2 + 1\) и \(y = 1\) являются неотрицательными, что позволяет применить неравенство Коши.

Применяем неравенство Коши к числам \(a^2 + 1\) и \(1\):
\(\frac{(a^2 + 1) + 1}{2} \ge \sqrt{(a^2 + 1) \cdot 1};\)

Упрощаем левую часть неравенства: \((a^2 + 1) + 1 = a^2 + 2\). Упрощаем правую часть неравенства: \(\sqrt{(a^2 + 1) \cdot 1} = \sqrt{a^2 + 1}\).
Таким образом, неравенство принимает вид:
\(\frac{a^2 + 2}{2} \ge \sqrt{a^2 + 1};\)

Теперь умножим обе части этого неравенства на \(2\). Поскольку \(2\) является положительным числом, знак неравенства не изменится:
\(a^2 + 2 \ge 2\sqrt{a^2 + 1};\)

Наконец, чтобы получить исходное неравенство, разделим обе части на \(\sqrt{a^2 + 1}\). Поскольку \(a^2 \ge 0\), то \(a^2 + 1 \ge 1\), и следовательно, \(\sqrt{a^2 + 1} \ge 1\). Это означает, что \(\sqrt{a^2 + 1}\) всегда является положительным числом. Деление на положительное число не меняет знак неравенства:
\(\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \ge \frac{2\sqrt{a^2 + 1}}{\sqrt{a^2 + 1}};\)

Упрощаем правую часть: \(\frac{2\sqrt{a^2 + 1}}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2\).
Таким образом, получаем:
\(\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \ge 2;\)

Это и есть исходное неравенство, которое требовалось доказать. Равенство в данном неравенстве достигается, когда \(a^2 + 1 = 1\), что означает \(a^2 = 0\), то есть \(a = 0\).

Неравенство доказано.