Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
При \(a > 0\) докажите неравенство \(2\left|a + \frac{1}{a}\right| + a^2 > 4a\).
При \(a > 0\) доказать неравенство:
\(2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2 \ge 4a\);
1) Вспомогательное неравенство:
\(\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right) \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}\);
\(a+\frac{1}{a} \ge 2\);
2) В исходном неравенстве:
\(2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2 \ge 2\sqrt{2\left(a+\frac{1}{a}\right) \cdot a^2}\);
\(2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2 \ge 2a \cdot \sqrt{2} \cdot 2\);
\(2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2 \ge 4a\);
Неравенство доказано.
При \(a > 0\) доказать неравенство:
\(2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2 \ge 4a\);
1) Вспомогательное неравенство:
Применяем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел \(a\) и \(\frac{1}{a}\):
\(\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right) \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}\);
Упрощаем правую часть: \(\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{1} = 1\).
Таким образом, получаем:
\(\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right) \ge 1\);
Умножаем обе части неравенства на 2:
\(a+\frac{1}{a} \ge 2\);
Это вспомогательное неравенство доказано.
2) В исходном неравенстве:
Рассмотрим левую часть исходного неравенства \(2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2\).
Применяем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных слагаемых \(2\left(a+\frac{1}{a}\right)\) и \(a^2\):
\(2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2 \ge 2\sqrt{2\left(a+\frac{1}{a}\right) \cdot a^2}\);
Используя вспомогательное неравенство из пункта 1, \(a+\frac{1}{a} \ge 2\), подставляем это в выражение под корнем:
\(2\sqrt{2\left(a+\frac{1}{a}\right) \cdot a^2} \ge 2\sqrt{2 \cdot 2 \cdot a^2}\);
Упрощаем выражение под корнем: \(2 \cdot 2 \cdot a^2 = 4a^2\).
Тогда неравенство принимает вид:
\(2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2 \ge 2\sqrt{4a^2}\);
Извлекаем корень, учитывая, что \(a > 0\), поэтому \(\sqrt{a^2} = a\):
\(2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2 \ge 2 \cdot 2a\);
Выполняем умножение в правой части:
\(2\left(a+\frac{1}{a}\right)+a^2 \ge 4a\);
Неравенство доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.