ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(x^2 + \frac{x^2 + 1}{1 + \frac{1}{x}} > 1\).

Рассмотрим исходное неравенство \(x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 1\).

Для доказательства этого неравенства преобразуем левую часть следующим образом: добавим и вычтем 1 к члену \(x^2\), чтобы получить \((x^2 + 1) — 1 + \frac{1}{x^2 + 1}\). Перегруппировав члены, получаем выражение \(\left(x^2 + 1\right) + \frac{1}{x^2 + 1} — 1\).

Теперь применим неравенство Коши (неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим). Для любых положительных чисел \(a\) и \(b\) выполняется неравенство \(a + b \ge 2\sqrt{ab}\). В нашем случае, пусть \(a = x^2 + 1\) и \(b = \frac{1}{x^2 + 1}\). Поскольку \(x^2 \ge 0\), то \(x^2 + 1 \ge 1\), следовательно, оба числа \(a\) и \(b\) являются положительными.

Применяя неравенство Коши к \(x^2 + 1\) и \(\frac{1}{x^2 + 1}\), получаем:
\(\left(x^2 + 1\right) + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 2\sqrt{\left(x^2 + 1\right) \cdot \frac{1}{x^2 + 1}}\).
Упрощая выражение под корнем, имеем:
\(\left(x^2 + 1\right) + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 2\sqrt{1}\).
Отсюда следует:
\(\left(x^2 + 1\right) + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 2\).

Теперь подставим это обратно в преобразованное исходное выражение:
\(x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} = \left( \left(x^2 + 1\right) + \frac{1}{x^2 + 1} \right) — 1\).
Поскольку мы доказали, что \(\left(x^2 + 1\right) + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 2\), то:
\(x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 2 — 1\).
Таким образом, окончательно получаем:
\(x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 1\).
Неравенство доказано.

Доказать неравенство:
\(x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 1\).

Рассмотрим левую часть неравенства. Для удобства применения неравенства Коши (неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим) преобразуем выражение \(x^2\). Добавим и вычтем единицу к \(x^2\), чтобы получить член \((x^2 + 1)\), который будет использоваться как одно из слагаемых в неравенстве Коши. Таким образом, исходное выражение можно переписать как:
\(x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} = (x^2 + 1) — 1 + \frac{1}{x^2 + 1}\).

Перегруппируем члены, чтобы выделить сумму, к которой будет применено неравенство Коши:
\((x^2 + 1) + \frac{1}{x^2 + 1} — 1\).

Согласно неравенству Коши для двух неотрицательных чисел \(a\) и \(b\), выполняется \(a + b \ge 2\sqrt{ab}\). В нашем случае, пусть \(a = x^2 + 1\) и \(b = \frac{1}{x^2 + 1}\). Поскольку \(x^2\) всегда неотрицательно (\(x^2 \ge 0\)), то \(x^2 + 1\) всегда больше или равно 1 (\(x^2 + 1 \ge 1\)). Следовательно, оба числа \(x^2 + 1\) и \(\frac{1}{x^2 + 1}\) являются положительными, и неравенство Коши применимо.

Применяем неравенство Коши к членам \((x^2 + 1)\) и \(\frac{1}{x^2 + 1}\):
\((x^2 + 1) + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 2\sqrt{(x^2 + 1) \cdot \frac{1}{x^2 + 1}}\).

Упростим выражение под знаком квадратного корня. Произведение \((x^2 + 1)\) и \(\frac{1}{x^2 + 1}\) равно 1:
\((x^2 + 1) \cdot \frac{1}{x^2 + 1} = 1\).

Подставим это значение обратно в неравенство:
\((x^2 + 1) + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 2\sqrt{1}\).
Таким образом, получаем:
\((x^2 + 1) + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 2\).

Теперь вернемся к преобразованному исходному выражению:
\(x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} = \left( (x^2 + 1) + \frac{1}{x^2 + 1} \right) — 1\).
Поскольку мы доказали, что \((x^2 + 1) + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 2\), мы можем заменить эту часть выражения на ее минимальное значение:
\(x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 2 — 1\).

Выполняя вычитание, получаем:
\(x^2 + \frac{1}{x^2 + 1} \ge 1\).

Неравенство доказано.