ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(a^2 + b^2 + a + 2b^2 + 1\).

Доказать неравенство:
\(a^2 + b^2 + \frac{1}{a^2 + 2} + \frac{1}{b^2 + 1} > 1;\)

1) Первое неравенство:
\((a^2 + 2) + \frac{1}{a^2 + 2} \ge 2 \sqrt{(a^2 + 2) \cdot \frac{1}{a^2 + 2}};\)
\(a^2 + 2 + \frac{1}{a^2 + 2} \ge 2;\)
\(a^2 + \frac{1}{a^2 + 2} > 0;\)

2) Второе неравенство:
\((b^2 + 1) + \frac{1}{b^2 + 1} \ge 2 \sqrt{(b^2 + 1) \cdot \frac{1}{b^2 + 1}};\)
\(b^2 + 1 + \frac{1}{b^2 + 1} \ge 2;\)
\(b^2 + \frac{1}{b^2 + 1} \ge 1;\)

3) Сложим неравенства:
\(a^2 + \frac{1}{a^2 + 2} + b^2 + \frac{1}{b^2 + 1} > 1;\)

Неравенство доказано.

Доказать неравенство: \(a^2 + b^2 + \frac{1}{a^2 + 2} + \frac{1}{b^2 + 1} > 1;\)

1) Первое неравенство:
Рассмотрим выражение \((a^2 + 2) + \frac{1}{a^2 + 2}\). Поскольку \(a^2 \ge 0\), то \(a^2 + 2 > 0\). Оба слагаемых положительны, поэтому к ним можно применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM), которое гласит, что для любых положительных чисел \(x\) и \(y\), выполняется \(x + y \ge 2\sqrt{xy}\).

Применяем AM-GM к \(x = a^2 + 2\) и \(y = \frac{1}{a^2 + 2}\):
\((a^2 + 2) + \frac{1}{a^2 + 2} \ge 2 \sqrt{(a^2 + 2) \cdot \frac{1}{a^2 + 2}}\)

Упрощаем выражение под корнем:
\((a^2 + 2) + \frac{1}{a^2 + 2} \ge 2 \sqrt{1}\)
\((a^2 + 2) + \frac{1}{a^2 + 2} \ge 2\)

Неравенство AM-GM становится равенством тогда и только тогда, когда \(x = y\). В данном случае, это означает \(a^2 + 2 = \frac{1}{a^2 + 2}\). Это эквивалентно \((a^2 + 2)^2 = 1\). Поскольку \(a^2 + 2\) всегда положительно, то \(a^2 + 2 = 1\), что приводит к \(a^2 = -1\). Это невозможно для действительных значений \(a\). Следовательно, \(a^2 + 2 \neq \frac{1}{a^2 + 2}\), и неравенство является строгим:
\((a^2 + 2) + \frac{1}{a^2 + 2} > 2\)

Вычитаем 2 из обеих частей неравенства:
\(a^2 + \frac{1}{a^2 + 2} > 0\)

2) Второе неравенство:
Рассмотрим выражение \((b^2 + 1) + \frac{1}{b^2 + 1}\). Поскольку \(b^2 \ge 0\), то \(b^2 + 1 > 0\). Оба слагаемых положительны, поэтому к ним также можно применить неравенство AM-GM.

Применяем AM-GM к \(x = b^2 + 1\) и \(y = \frac{1}{b^2 + 1}\):
\((b^2 + 1) + \frac{1}{b^2 + 1} \ge 2 \sqrt{(b^2 + 1) \cdot \frac{1}{b^2 + 1}}\)

Упрощаем выражение под корнем:
\((b^2 + 1) + \frac{1}{b^2 + 1} \ge 2 \sqrt{1}\)
\((b^2 + 1) + \frac{1}{b^2 + 1} \ge 2\)

Для этого неравенства равенство достигается, когда \(b^2 + 1 = \frac{1}{b^2 + 1}\), что означает \((b^2 + 1)^2 = 1\). Поскольку \(b^2 + 1\) всегда положительно, то \(b^2 + 1 = 1\), что приводит к \(b^2 = 0\), то есть \(b = 0\). Если \(b = 0\), то \(b^2 + \frac{1}{b^2 + 1} = 0 + \frac{1}{0 + 1} = 1\). Таким образом, неравенство не является строго большим, а является «больше или равно».

Вычитаем 1 из обеих частей неравенства:
\(b^2 + \frac{1}{b^2 + 1} \ge 1\)

3) Сложим неравенства:
Теперь сложим два полученных неравенства:
Из пункта 1) мы имеем: \(a^2 + \frac{1}{a^2 + 2} > 0\)
Из пункта 2) мы имеем: \(b^2 + \frac{1}{b^2 + 1} \ge 1\)

Складывая левые и правые части этих неравенств:
\(\left(a^2 + \frac{1}{a^2 + 2}\right) + \left(b^2 + \frac{1}{b^2 + 1}\right) > 0 + 1\)

Объединяем слагаемые:
\(a^2 + b^2 + \frac{1}{a^2 + 2} + \frac{1}{b^2 + 1} > 1\)

Таким образом, исходное неравенство доказано.
Неравенство доказано.