ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a^2 + b^2 = 1\), \(c^2 + d^2 = 1\). Докажите, что \(|ac + bd| \leq 1\)

Известно, что: \(a^2 + b^2 = 1\), \(c^2 + d^2 = 1\);
Доказать неравенство: \(|ac + bd| \le 1\);

По неравенству Коши-Буняковского:
\((ac + bd)^2 \le (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\);
\((ac + bd)^2 \le 1 \cdot 1\);
\(\sqrt{(ac + bd)^2} \le 1\);
\(|ac + bd| \le 1\);
Неравенство доказано.

Известно, что: \(a^2 + b^2 = 1\), \(c^2 + d^2 = 1\);
Доказать неравенство: \(|ac + bd| \le 1\);

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского. В общем виде для двух векторов \(\vec{u} = (u_1, u_2, \dots, u_n)\) и \(\vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)\) оно формулируется как:
\((\sum_{i=1}^{n} u_i v_i)^2 \le (\sum_{i=1}^{n} u_i^2)(\sum_{i=1}^{n} v_i^2)\).
В нашем случае, мы можем рассмотреть векторы \((a, b)\) и \((c, d)\). Тогда их скалярное произведение будет \(ac + bd\), а квадраты их длин будут \(a^2 + b^2\) и \(c^2 + d^2\) соответственно.

Применяя неравенство Коши-Буняковского к данным выражениям, получаем:
\((ac + bd)^2 \le (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\).

Согласно условию задачи, нам дано, что \(a^2 + b^2 = 1\) и \(c^2 + d^2 = 1\). Подставим эти значения в полученное неравенство:
\((ac + bd)^2 \le 1 \cdot 1\).

Упрощая правую часть неравенства, получаем:
\((ac + bd)^2 \le 1\).

Чтобы избавиться от квадрата в левой части, извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства. Важно помнить, что квадратный корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения: \(\sqrt{x^2} = |x|\). Также, \(\sqrt{1} = 1\).
Таким образом, получаем:
\(\sqrt{(ac + bd)^2} \le \sqrt{1}\).

Что приводит к следующему выражению:
\(|ac + bd| \le 1\).

Данное неравенство полностью соответствует тому, что требовалось доказать.
Неравенство доказано.