ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a^2 + b^2 = 1\), \(c^2 + d^2 = 1\). Докажите, что \(|ac — bd| \leq 1\).

Известно, что: \(a^2 + b^2 = 1\), \(c^2 + d^2 = 1\);
Доказать неравенство: \(|ac — bd| \le 1\);

По неравенству Коши-Буняковского:
\((ac + (-bd))^2 \le (a^2 + (-b)^2)(c^2 + d^2)\);
\((ac — bd)^2 \le (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\);
\((ac — bd)^2 \le 1 \cdot 1\);
\(\sqrt{(ac — bd)^2} \le 1\);
\(|ac — bd| \le 1\);

Неравенство доказано.

Известно, что: \(a^2 + b^2 = 1\), \(c^2 + d^2 = 1\);
Доказать неравенство: \(|ac — bd| \le 1\);

По неравенству Коши-Буняковского:
Неравенство Коши-Буняковского-Шварца (КБШ) для двух векторов \(\mathbf{u} = (u_1, u_2)\) и \(\mathbf{v} = (v_1, v_2)\) утверждает, что \((\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})^2 \le ||\mathbf{u}||^2 \cdot ||\mathbf{v}||^2\), что разворачивается в \((u_1v_1 + u_2v_2)^2 \le (u_1^2 + u_2^2)(v_1^2 + v_2^2)\).
В нашем случае мы можем рассмотреть два вектора:
\(\mathbf{u} = (a, -b)\)
\(\mathbf{v} = (c, d)\)

Их скалярное произведение равно \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = ac + (-b)d = ac — bd\).
Квадрат нормы вектора \(\mathbf{u}\) равен \(||\mathbf{u}||^2 = a^2 + (-b)^2 = a^2 + b^2\).
Квадрат нормы вектора \(\mathbf{v}\) равен \(||\mathbf{v}||^2 = c^2 + d^2\).

Применяя неравенство КБШ, получаем:
\((ac + (-bd))^2 \le (a^2 + (-b)^2)(c^2 + d^2)\).

Упрощая выражение:
Левая часть становится \((ac — bd)^2\).
Член \((-b)^2\) упрощается до \(b^2\).
Таким образом, неравенство принимает вид:
\((ac — bd)^2 \le (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\).

Подставляя заданные условия:
Нам дано, что \(a^2 + b^2 = 1\) и \(c^2 + d^2 = 1\).
Подставляем эти значения в неравенство из предыдущего шага:
\((ac — bd)^2 \le 1 \cdot 1\);
\((ac — bd)^2 \le 1\).

Берем квадратный корень:
Чтобы убрать квадрат в левой части, мы берем квадратный корень из обеих частей неравенства \((ac — bd)^2 \le 1\).
При извлечении квадратного корня из квадрата выражения мы должны использовать абсолютное значение: \(\sqrt{x^2} = |x|\).
Таким образом, \(\sqrt{(ac — bd)^2} \le \sqrt{1}\);
Это упрощается до:
\(\sqrt{(ac — bd)^2} \le 1\).

Окончательное неравенство:
Применяя свойство абсолютного значения из предыдущего шага, \(\sqrt{(ac — bd)^2}\) становится \(|ac — bd|\).
Следовательно, неравенство упрощается до:
\(|ac — bd| \le 1\).

Неравенство доказано.