ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите неравенство \(\frac{a+1}{a^2 + 1} + \frac{b^2}{a^2 + 1} + b^2 > |1 + ab|\).

Доказать неравенство: \(\sqrt{1 + a^2} \cdot \sqrt{1 + b^2} \geq |1 + ab|\);
По неравенству Коши-Буняковского:
\((1 \cdot 1 + ab)^2 \leq (1 + a^2)(1 + b^2)\);
\(\sqrt{(1 + ab)^2} \leq \sqrt{(1 + a^2)(1 + b^2)}\);
\(|1 + ab| \leq \sqrt{1 + a^2} \cdot \sqrt{1 + b^2}\);
Неравенство доказано.

Доказать неравенство: \(\sqrt{1 + a^2} \cdot \sqrt{1 + b^2} \geq |1 + ab|\).
По неравенству Коши-Буняковского:
Для доказательства данного неравенства мы используем неравенство Коши-Буняковского (также известное как неравенство Коши-Шварца). Это неравенство утверждает, что для любых действительных чисел \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) и \(y_1, y_2, \ldots, y_n\) справедливо следующее соотношение:
\((x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n)^2 \leq (x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \ldots + y_n^2)\).
В нашем случае, мы рассматриваем частный случай для \(n=2\). Выберем следующие значения для переменных:
Пусть \(x_1 = 1\), \(x_2 = a\).
Пусть \(y_1 = 1\), \(y_2 = b\).
Подставляя эти значения в формулу неравенства Коши-Буняковского, получаем:
\((1 \cdot 1 + a \cdot b)^2 \leq (1^2 + a^2)(1^2 + b^2)\).
Выполняя умножение и возведение в степень, это выражение упрощается до:
\((1 + ab)^2 \leq (1 + a^2)(1 + b^2)\).

Следующим шагом является извлечение квадратного корня из обеих частей полученного неравенства. Поскольку обе части неравенства, \((1 + ab)^2\) и \((1 + a^2)(1 + b^2)\), являются неотрицательными (квадрат любого действительного числа неотрицателен, а выражения \(1+a^2\) и \(1+b^2\) всегда положительны), операция извлечения квадратного корня не меняет знак неравенства:
\(\sqrt{(1 + ab)^2} \leq \sqrt{(1 + a^2)(1 + b^2)}\).

Наконец, применяем свойство квадратного корня, что \(\sqrt{X^2} = |X|\) для любого действительного числа \(X\), а также свойство \(\sqrt{XY} = \sqrt{X}\sqrt{Y}\) для неотрицательных \(X\) и \(Y\). Применяя эти свойства к обеим сторонам неравенства, получаем:
\(|1 + ab| \leq \sqrt{1 + a^2} \cdot \sqrt{1 + b^2}\).
Это неравенство является точной формой исходного неравенства, которое требовалось доказать.

Неравенство доказано.