ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дано: \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\), \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\). Докажите, что \(-1 \leq ax + by + cz \leq 1\).

Дано: \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\), \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\);
Доказать неравенство: \(-1 \le ax + by + cz \le 1\);
По неравенству Коши-Буняковского:
\((ax + by + cz)^2 \le (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)\);
\(\sqrt{(ax + by + cz)^2} \le \sqrt{1 \cdot 1}\);
\(|ax + by + cz| \le 1\);
\(-1 \le ax + by + cz \le 1\);
Неравенство доказано.

Дано: \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\), \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\);
Доказать неравенство: \(-1 \le ax + by + cz \le 1\);

По неравенству Коши-Буняковского для векторов \(\mathbf{u} = (a, b, c)\) и \(\mathbf{v} = (x, y, z)\) в трехмерном пространстве, которое гласит, что квадрат скалярного произведения двух векторов не превосходит произведения квадратов их длин:
\((ax + by + cz)^2 \le (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)\).

Подставляя заданные значения \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\) и \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) в неравенство:
\((ax + by + cz)^2 \le (1)(1)\)
\((ax + by + cz)^2 \le 1\).

Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем:
\(\sqrt{(ax + by + cz)^2} \le \sqrt{1}\)
\(|ax + by + cz| \le 1\).

По определению абсолютного значения, неравенство \(|P| \le Q\) эквивалентно \(-Q \le P \le Q\). Применяя это к нашему случаю, где \(P = ax + by + cz\) и \(Q = 1\):
\(-1 \le ax + by + cz \le 1\).

Неравенство доказано.