ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дано: \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\), \(x^2 + y^2 + z^2 = 3\). Докажите, что \(-\sqrt{3} < ax + by + cz < \sqrt{3}\).

Дано: \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\), \(x^2 + y^2 + z^2 = 3\);
Доказать неравенство: \(-\sqrt{3} \le ax + by + cz \le \sqrt{3}\);
По неравенству Коши-Буняковского:
\((ax + by + cz)^2 \le (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)\);
\(\sqrt{(ax + by + cz)^2} \le \sqrt{1 \cdot 3}\);
\(|ax + by + cz| \le \sqrt{3}\);
\(-\sqrt{3} \le ax + by + cz \le \sqrt{3}\);
Неравенство доказано.

Дано: \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\), \(x^2 + y^2 + z^2 = 3\);

Доказать неравенство: \(-\sqrt{3} \le ax + by + cz \le \sqrt{3}\);

По неравенству Коши-Буняковского, которое гласит, что для любых действительных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_n\) и \(b_1, b_2, \dots, b_n\) выполняется неравенство \( (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \). Применяя это неравенство для трехмерных векторов \((a, b, c)\) и \((x, y, z)\), мы получаем:
\((ax + by + cz)^2 \le (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)\);

Подставляя заданные значения \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\) и \(x^2 + y^2 + z^2 = 3\) в полученное неравенство, имеем:
\((ax + by + cz)^2 \le (1)(3)\);
\((ax + by + cz)^2 \le 3\);

Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, следует помнить, что \(\sqrt{K^2} = |K|\) для любого действительного числа \(K\). Таким образом, получаем:
\(\sqrt{(ax + by + cz)^2} \le \sqrt{3}\);

Что упрощается до выражения с абсолютным значением:
\(|ax + by + cz| \le \sqrt{3}\);

По определению абсолютного значения, неравенство вида \(|A| \le B\) (где \(B \ge 0\)) эквивалентно двойному неравенству \( -B \le A \le B\). Применяя это свойство к нашему случаю, где \(A = ax + by + cz\) и \(B = \sqrt{3}\), получаем:
\(-\sqrt{3} \le ax + by + cz \le \sqrt{3}\);

Неравенство доказано.