ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Переменные \(x\) и \(y\) принимают положительные значения, и их произведение постоянно. Докажите, что их сумма будет наименьшей тогда и только тогда, когда эти числа равны.

Дано: \(x > 0\), \(y > 0\) и \(xy\) — число постоянное;
Доказать: \(x + y\) — наименьшее при \(x = y\);

1) Согласно неравенству Коши:
\(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\);
\(x + y \ge 2\sqrt{xy}\);

2) Наименьшее значение суммы:
\(x + y = 2\sqrt{xy}\);
\(x — 2\sqrt{xy} + y = 0\);
\((\sqrt{x} — \sqrt{y})^2 = 0\);
\(\sqrt{x} = \sqrt{y}\);
\(x = y\);

Что и требовалось доказать.

Дано: \(x > 0\), \(y > 0\) и \(xy\) — число постоянное;
Доказать: \(x + y\) — наименьшее при \(x = y\);

1) Согласно неравенству Коши:
Неравенство Коши, также известное как неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM), гласит, что для любых неотрицательных чисел среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому. Для двух положительных чисел \(x\) и \(y\) это записывается как \(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\). Поскольку в условии дано, что \(x > 0\) и \(y > 0\), данное неравенство применимо. Умножив обе части неравенства на 2, получаем \(x + y \ge 2\sqrt{xy}\). Это выражение устанавливает нижнюю границу для суммы \(x+y\). Поскольку произведение \(xy\) является постоянным числом, то и \(2\sqrt{xy}\) также является постоянной величиной. Следовательно, сумма \(x+y\) не может быть меньше этого постоянного значения.

2) Наименьшее значение суммы:
Равенство в неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим (\(\frac{x+y}{2} = \sqrt{xy}\)) достигается тогда и только тогда, когда \(x = y\). Это означает, что сумма \(x + y\) принимает свое наименьшее возможное значение, которое равно \(2\sqrt{xy}\), именно в том случае, когда \(x\) равно \(y\). Чтобы продемонстрировать это алгебраически, мы приравниваем сумму к ее минимальной границе: \(x + y = 2\sqrt{xy}\). Перенесем член \(2\sqrt{xy}\) в левую часть уравнения, получим \(x — 2\sqrt{xy} + y = 0\). Это выражение является полным квадратом разности. Учитывая, что \(x\) можно представить как \((\sqrt{x})^2\) и \(y\) как \((\sqrt{y})^2\), мы можем переписать уравнение в виде \((\sqrt{x})^2 — 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = 0\). Это точное разложение выражения \((\sqrt{x} — \sqrt{y})^2\). Таким образом, мы имеем \((\sqrt{x} — \sqrt{y})^2 = 0\). Для того чтобы квадрат действительного числа был равен нулю, само число должно быть равно нулю. Следовательно, \(\sqrt{x} — \sqrt{y} = 0\). Прибавив \(\sqrt{y}\) к обеим частям уравнения, получаем \(\sqrt{x} = \sqrt{y}\). Поскольку и \(x\), и \(y\) являются положительными числами, мы можем возвести обе части в квадрат, не вводя посторонних решений, что приводит к \(x = y\). Это подтверждает, что наименьшее значение суммы \(x+y\) достигается, когда \(x = y\).

Что и требовалось доказать.