ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для положительных чисел \(x\) и \(y\) докажите неравенство \(27x\).

Для положительных чисел \(x\) и \(y\) доказать неравенство:
\(\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \ge \frac{2}{3}\);

Согласно неравенству Коши:
\(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x}\right) \ge \sqrt{\frac{3x}{y} \cdot \frac{y}{27x}}\);

\(\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \ge 2\sqrt{\frac{1}{9}}\);

\(\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \ge \frac{2}{3}\);

Неравенство доказано.

Для положительных чисел \(x\) и \(y\) доказать неравенство: \(\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \ge \frac{2}{3}\);

Согласно неравенству Коши (неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом), для любых двух неотрицательных чисел \(a\) и \(b\) выполняется условие \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\). В данном случае, числа \(\frac{3x}{y}\) и \(\frac{y}{27x}\) являются положительными, так как \(x\) и \(y\) по условию положительны. Применяя неравенство Коши к этим двум числам, получаем:
\(\frac{\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x}}{2} \ge \sqrt{\frac{3x}{y} \cdot \frac{y}{27x}}\);

Умножим обе части неравенства на 2:
\(\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \ge 2\sqrt{\frac{3x}{y} \cdot \frac{y}{27x}}\);

Теперь упростим выражение под знаком квадратного корня:
\(\frac{3x}{y} \cdot \frac{y}{27x} = \frac{3 \cdot x \cdot y}{y \cdot 27 \cdot x}\);
Сокращаем \(x\) и \(y\):
\(\frac{3}{27} = \frac{1}{9}\);

Подставляем упрощенное значение обратно в неравенство:
\(\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \ge 2\sqrt{\frac{1}{9}}\);

Вычислим значение квадратного корня:
\(\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}\);

Теперь подставим это значение обратно в неравенство:
\(\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \ge 2 \cdot \frac{1}{3}\);

Выполним умножение:
\(\frac{3x}{y} + \frac{y}{27x} \ge \frac{2}{3}\);

Таким образом, исходное неравенство доказано.
Неравенство доказано.