ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Переменные \(x\) и \(y\) принимают положительные значения, и их сумма постоянна. Докажите, что их произведение будет наибольшим тогда и только тогда, когда эти числа равны.

Дано: \(x > 0\), \(y > 0\) и \(x + y\) – число постоянное;
Доказать: \(xy\) – наибольшее при \(x = y\);

1) Согласно неравенству Коши:
\(\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}\);
\(x + y \geq 2\sqrt{xy}\);

2) Наибольшее значение \(xy\):
\(2\sqrt{xy} = x + y\);
\(x — 2\sqrt{xy} + y = 0\);
\((\sqrt{x} — \sqrt{y})^2 = 0\);
\(\sqrt{x} = \sqrt{y}\);
\(x = y\);

Что и требовалось доказать.

Дано: \(x > 0\), \(y > 0\) и \(x + y\) – число постоянное;
Доказать: \(xy\) – наибольшее при \(x = y\);

1) Согласно неравенству Коши, для любых неотрицательных чисел среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. В данном случае, поскольку дано, что \(x > 0\) и \(y > 0\), мы можем применить это неравенство к числам \(x\) и \(y\):
\(\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}\)
Умножая обе части неравенства на 2, получаем:
\(x + y \geq 2\sqrt{xy}\)
Это неравенство показывает, что для любых положительных \(x\) и \(y\) сумма \(x+y\) всегда больше или равна удвоенному квадратному корню из их произведения.

2) Для того чтобы произведение \(xy\) достигло своего наибольшего значения при постоянной сумме \(x+y\), неравенство Коши должно превратиться в равенство. Это происходит только в том случае, когда \(x = y\). Таким образом, мы рассматриваем случай, когда:
\(2\sqrt{xy} = x + y\)
Для того чтобы найти условие, при котором это равенство выполняется, перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\(x — 2\sqrt{xy} + y = 0\)
Это выражение является полным квадратом разности. Мы можем заметить, что \(x\) это \(( \sqrt{x} )^2\) и \(y\) это \(( \sqrt{y} )^2\). Тогда уравнение принимает вид:
\(( \sqrt{x} )^2 — 2\sqrt{x}\sqrt{y} + ( \sqrt{y} )^2 = 0\)
Что упрощается до:
\((\sqrt{x} — \sqrt{y})^2 = 0\)
Поскольку квадрат действительного числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю, мы имеем:
\(\sqrt{x} — \sqrt{y} = 0\)
Прибавляя \(\sqrt{y}\) к обеим частям уравнения, получаем:
\(\sqrt{x} = \sqrt{y}\)
Возводя обе части уравнения в квадрат (что допустимо, так как \(x > 0\) и \(y > 0\)), мы окончательно получаем:
\(x = y\)
Таким образом, доказано, что произведение \(xy\) достигает своего наибольшего значения при условии, что \(x = y\), когда их сумма \(x+y\) является постоянной величиной.

Что и требовалось доказать.