ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(x > 0\) и \(xy = 12\). Найдите наименьшее значение выражения \(x + 3y\).

Известно, что: \(x > 0\) и \(xy = 12\);
Найти наименьшее значение \(x + 3y\);
Согласно неравенству Коши:
\(\frac{x+3y}{2} \ge \sqrt{x \cdot 3y}\);
\(x + 3y \ge 2\sqrt{3 \cdot 12}\);
\(x + 3y \ge 2\sqrt{36}\);
\(x + 3y \ge 2 \cdot 6\);
\(x + 3y \ge 12\);
Ответ: 12.

Известно, что: \(x > 0\) и \(xy = 12\);
Найти наименьшее значение \(x + 3y\);

1. Для нахождения наименьшего значения суммы \(x + 3y\) при известном произведении \(xy = 12\), удобно использовать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM). Это неравенство применимо к неотрицательным числам. Поскольку дано, что \(x > 0\) и \(xy = 12\), то \(y = \frac{12}{x}\), что также означает \(y > 0\). Следовательно, оба слагаемых \(x\) и \(3y\) являются положительными числами.

2. Применим неравенство AM-GM для двух положительных чисел \(x\) и \(3y\). Неравенство гласит, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше или равно их среднему геометрическому:
\(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)
В нашем случае \(a = x\) и \(b = 3y\). Подставляем эти значения в неравенство:
\(\frac{x + 3y}{2} \ge \sqrt{x \cdot 3y}\).

3. Умножим обе части неравенства на 2, чтобы изолировать сумму \(x + 3y\):
\(x + 3y \ge 2\sqrt{x \cdot 3y}\).

4. Упростим выражение под квадратным корнем, объединив множители:
\(x + 3y \ge 2\sqrt{3xy}\).

5. Теперь подставим известное значение произведения \(xy = 12\) в неравенство:
\(x + 3y \ge 2\sqrt{3 \cdot 12}\).

6. Вычислим произведение под квадратным корнем:
\(x + 3y \ge 2\sqrt{36}\).

7. Извлечем квадратный корень из 36, который равен 6:
\(x + 3y \ge 2 \cdot 6\).

8. Выполним окончательное умножение:
\(x + 3y \ge 12\).

9. Это неравенство показывает, что сумма \(x + 3y\) всегда будет больше или равна 12. Следовательно, наименьшее возможное значение для \(x + 3y\) равно 12. Равенство в неравенстве AM-GM достигается тогда и только тогда, когда \(x = 3y\). Проверим, достижимо ли это значение при заданных условиях.
У нас есть система уравнений:
\(x = 3y\)
\(xy = 12\)
Подставим первое уравнение во второе:
\((3y)y = 12\)
\(3y^2 = 12\)
\(y^2 = \frac{12}{3}\)
\(y^2 = 4\)
Поскольку \(y > 0\), берем положительный корень: \(y = 2\).
Теперь найдем \(x\) из уравнения \(x = 3y\):
\(x = 3 \cdot 2 = 6\).
Проверим, удовлетворяют ли эти значения условию \(xy = 12\): \(6 \cdot 2 = 12\). Условие выполняется.
Таким образом, наименьшее значение 12 достигается при \(x=6\) и \(y=2\).

Ответ: 12.