ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение выражения \(6a + 2b\), если \(a > 0\) и \(ab = 10\).

Известно, что: \(a > 0\) и \(ab = 10\);
Найти наименьшее значение \(5a + 2b\);

Согласно неравенству Коши:
\(\frac{5a + 2b}{2} \geq \sqrt{5a \cdot 2b}\);
\(5a + 2b \geq 2\sqrt{10 \cdot 10}\)
\(5a + 2b \geq 2 \cdot 10\);
\(5a + 2b \geq 20\);

Ответ: 20.

Известно, что: \(a > 0\) и \(ab = 10\);
Найти наименьшее значение \(5a + 2b\);

Для решения данной задачи мы воспользуемся неравенством Коши, также известным как неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM inequality). Это неравенство гласит, что для любых неотрицательных чисел \(x_1, x_2, \dots, x_n\) их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического: \(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}\). В нашем случае мы имеем два положительных слагаемых, \(5a\) и \(2b\), так как \(a > 0\) и \(ab = 10\) подразумевает, что \(b\) также должно быть положительным.

Применяя неравенство Коши для двух положительных чисел \(5a\) и \(2b\), мы получаем следующее соотношение:
\(\frac{5a + 2b}{2} \geq \sqrt{5a \cdot 2b}\).

Далее, упростим выражение под корнем. Произведение \(5a \cdot 2b\) можно переписать как \(10ab\). Поскольку нам дано, что \(ab = 10\), мы можем подставить это значение в неравенство:
\(\frac{5a + 2b}{2} \geq \sqrt{10 \cdot 10}\).

Теперь вычислим значение под корнем и сам корень. Произведение \(10 \cdot 10\) равно \(100\), а квадратный корень из \(100\) равен \(10\). Таким образом, неравенство преобразуется к виду:
\(\frac{5a + 2b}{2} \geq 10\).

Чтобы найти наименьшее значение выражения \(5a + 2b\), умножим обе части неравенства на \(2\):
\(5a + 2b \geq 2 \cdot 10\).

Окончательно, мы получаем:
\(5a + 2b \geq 20\).

Это неравенство показывает, что сумма \(5a + 2b\) всегда больше или равна \(20\). Наименьшее значение достигается, когда среднее арифметическое равно среднему геометрическому, что происходит, когда \(5a = 2b\). Подставив \(b = \frac{10}{a}\) в это условие, мы получим \(5a = 2 \cdot \frac{10}{a}\), что приводит к \(5a^2 = 20\), то есть \(a^2 = 4\). Так как \(a > 0\), то \(a = 2\). Тогда \(b = \frac{10}{2} = 5\). При этих значениях \(5a + 2b = 5(2) + 2(5) = 10 + 10 = 20\).

Ответ: 20.