ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение выражения \(xy\), если \(x > 0\), \(y > 0\) и \(x + 3y = 6\).

Известно, что: \(x > 0\), \(y > 0\) и \(x + 3y = 6\);
Найти наибольшее значение \(xy\);
Согласно неравенству Коши:
\(\frac{x + 3y}{2} \ge \sqrt{x \cdot 3y}\);
\(\frac{6}{2} \ge \sqrt{3xy}\);
\(3 \ge \sqrt{3xy}\);
\(9 \ge 3xy\);
\(xy \le 3\);
Ответ: 3.

Известно, что: \(x > 0\), \(y > 0\) и \(x + 3y = 6\);
Найти наибольшее значение \(xy\);

1. Для решения этой задачи мы используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM неравенство). Это неравенство утверждает, что для любых двух неотрицательных чисел \(a\) и \(b\) их среднее арифметическое всегда больше или равно их среднему геометрическому: \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\). Равенство достигается тогда и только тогда, когда \(a = b\). В нашем случае, поскольку дано, что \(x > 0\) и \(y > 0\), то \(x\) и \(3y\) являются положительными числами, что позволяет применить это неравенство.

2. Применяем неравенство AM-GM к числам \(x\) и \(3y\). Подставляем \(a = x\) и \(b = 3y\) в формулу неравенства:
\(\frac{x + 3y}{2} \ge \sqrt{x \cdot 3y}\)

3. Из условия задачи нам известно, что \(x + 3y = 6\). Мы подставляем это значение в левую часть неравенства:
\(\frac{6}{2} \ge \sqrt{3xy}\)

4. Выполняем упрощение левой части неравенства, деля 6 на 2:
\(3 \ge \sqrt{3xy}\)

5. Чтобы избавиться от квадратного корня в правой части неравенства, возводим обе части неравенства в квадрат. Поскольку обе части неравенства (3 и \(\sqrt{3xy}\)) являются неотрицательными, знак неравенства при этом не меняется:
\(3^2 \ge (\sqrt{3xy})^2\)
\(9 \ge 3xy\)

6. Для того чтобы найти наибольшее значение \(xy\), нам необходимо выразить \(xy\) из полученного неравенства. Для этого делим обе части неравенства на 3. Поскольку 3 — это положительное число, знак неравенства остается прежним:
\(\frac{9}{3} \ge \frac{3xy}{3}\)
\(3 \ge xy\)
Это можно переписать как \(xy \le 3\).

7. Неравенство \(xy \le 3\) означает, что произведение \(xy\) может принимать любое значение, которое меньше или равно 3. Следовательно, наибольшее возможное значение для \(xy\) равно 3. Равенство в неравенстве AM-GM достигается, когда \(x = 3y\). Давайте проверим, достигается ли это значение при заданных условиях:
Если \(x = 3y\) и \(x + 3y = 6\), то подставим \(x = 3y\) во второе уравнение:
\(3y + 3y = 6\)
\(6y = 6\)
\(y = 1\)
Теперь найдем \(x\):
\(x = 3y = 3 \cdot 1 = 3\)
Таким образом, при \(x=3\) и \(y=1\), условие \(x+3y=6\) выполняется (\(3 + 3 \cdot 1 = 6\)), и произведение \(xy = 3 \cdot 1 = 3\). Это подтверждает, что значение 3 достижимо и является наибольшим.

Ответ: 3.