ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a > 0\), \(b > 0\) и \(3a + 4b = 24\). Найдите наибольшее значение выражения \(ab\).

Известно, что: \(a > 0\), \(b > 0\) и \(3a + 4b = 24\);
Найти наибольшее значение \(ab\);
Согласно неравенству Коши:
\(\frac{3a + 4b}{2} \ge \sqrt{3a \cdot 4b}\);
\(\frac{24}{2} \ge \sqrt{12ab}\);
\(12 \ge \sqrt{12ab}\);
\(144 \ge 12ab\);
\(ab \le 12\);
Ответ: 12.

Известно, что: \(a > 0\), \(b > 0\) и \(3a + 4b = 24\);
Найти наибольшее значение \(ab\);

1. Применяем неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел \(3a\) и \(4b\). Это неравенство гласит, что для любых неотрицательных чисел \(x\) и \(y\), выполняется \(\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}\). В нашем случае, \(x = 3a\) и \(y = 4b\).
\(\frac{3a + 4b}{2} \ge \sqrt{3a \cdot 4b}\)

2. Подставляем известное значение суммы \(3a + 4b = 24\) в левую часть неравенства.
\(\frac{24}{2} \ge \sqrt{12ab}\)

3. Выполняем деление в левой части неравенства.
\(12 \ge \sqrt{12ab}\)

4. Возводим обе части неравенства в квадрат. Поскольку обе части неравенства положительны, знак неравенства не меняется.
\(12^2 \ge (\sqrt{12ab})^2\)
\(144 \ge 12ab\)

5. Делим обе части неравенства на \(12\), чтобы выразить \(ab\).
\(\frac{144}{12} \ge \frac{12ab}{12}\)
\(12 \ge ab\)

6. Таким образом, мы получаем, что произведение \(ab\) всегда меньше или равно \(12\). Наибольшее значение \(ab\) достигается, когда в неравенстве Коши достигается равенство. Равенство достигается, когда \(3a = 4b\).

7. Решаем систему уравнений для нахождения значений \(a\) и \(b\), при которых достигается максимальное значение \(ab\):
\(3a + 4b = 24\)
\(3a = 4b\)
Подставляем \(4b\) из второго уравнения в первое:
\(3a + 3a = 24\)
\(6a = 24\)
\(a = \frac{24}{6}\)
\(a = 4\)
Теперь подставляем значение \(a\) во второе уравнение, чтобы найти \(b\):
\(3(4) = 4b\)
\(12 = 4b\)
\(b = \frac{12}{4}\)
\(b = 3\)
При \(a = 4\) и \(b = 3\), произведение \(ab = 4 \cdot 3 = 12\). Это подтверждает, что значение \(12\) достижимо.

Ответ: 12.