ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение выражения \(x^2 + \frac{1}{x^2}\)

Найти наименьшее значение выражения:
\(x^2 + \frac{16}{x^2}\);

Согласно неравенству Коши:
\(x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2 \sqrt{x^2 \cdot \frac{16}{x^2}}\);
\(x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2 \cdot 4\);
\(x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 8\);

Ответ: 8.

Найти наименьшее значение выражения:
\(x^2 + \frac{16}{x^2}\)

1. Для нахождения наименьшего значения выражения \(x^2 + \frac{16}{x^2}\) мы можем использовать неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM неравенство). Это неравенство применимо к неотрицательным числам. В данном выражении \(x^2\) и \(\frac{16}{x^2}\) являются положительными, поскольку \(x \ne 0\) (если \(x=0\), выражение не определено).

2. Неравенство Коши гласит, что для любых двух неотрицательных чисел \(a\) и \(b\), их среднее арифметическое больше или равно их среднему геометрическому: \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\). Это можно переписать как \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\).

3. Применим это неравенство к нашим членам. Пусть \(a = x^2\) и \(b = \frac{16}{x^2}\). Оба эти члена положительны для всех \(x \ne 0\).
Подставляя их в формулу неравенства, получаем:
\(x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{16}{x^2}}\).

4. Теперь упростим выражение под корнем. Произведение \(x^2 \cdot \frac{16}{x^2}\) равно \(16\), так как \(x^2\) в числителе и знаменателе сокращаются.
Таким образом, неравенство принимает вид:
\(x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2\sqrt{16}\).

5. Вычислим значение квадратного корня из \(16\), которое равно \(4\).
Подставим это значение обратно в неравенство:
\(x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2 \cdot 4\).

6. Выполним умножение в правой части неравенства:
\(x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 8\).
Это означает, что значение выражения \(x^2 + \frac{16}{x^2}\) всегда больше или равно \(8\).

7. Равенство в неравенстве Коши достигается тогда и только тогда, когда \(a=b\). В нашем случае это означает, что \(x^2 = \frac{16}{x^2}\).
Умножим обе части этого уравнения на \(x^2\) (поскольку \(x^2 \ne 0\)):
\(x^4 = 16\).
Извлекая корень четвертой степени из обеих частей, получаем \(x = \pm \sqrt[4]{16}\), что дает \(x = \pm 2\).
Поскольку существуют действительные значения \(x\) (например, \(x=2\) или \(x=-2\)), при которых выражение достигает значения \(8\), это и есть наименьшее возможное значение.

Ответ: 8.