ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(x > 0\). Найдите наименьшее значение выражения \(x^2 + 10x + 16\).

Найти наименьшее значение выражения:
\(\frac{x^2 + 10x + 16}{x}\), \(x > 0\);

Согласно неравенству Коши:
\(x + \frac{16}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{16}{x}}\);
\(x + \frac{16}{x} \ge 2 \cdot 4\);
\(x + 10 + \frac{16}{x} \ge 8 + 10\);
\(\frac{x^2 + 10x + 16}{x} \ge 18\);

Ответ: 18.

Найти наименьшее значение выражения:
\(\frac{x^2 + 10x + 16}{x}\), \(x > 0\);

Для нахождения наименьшего значения данного выражения, мы можем сначала упростить его, разделив каждый член числителя на \(x\).
\(\frac{x^2 + 10x + 16}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{10x}{x} + \frac{16}{x} = x + 10 + \frac{16}{x}\).

Теперь мы можем применить неравенство Коши (также известное как неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, или AM-GM неравенство) к положительным членам \(x\) и \(\frac{16}{x}\). Неравенство Коши гласит, что для любых неотрицательных чисел \(a\) и \(b\), их среднее арифметическое больше или равно их среднему геометрическому: \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\), что эквивалентно \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\).

Применяя это к \(x\) и \(\frac{16}{x}\) (поскольку \(x > 0\), оба члена положительны), получаем:
\(x + \frac{16}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{16}{x}}\).

Упростим правую часть неравенства:
\(x + \frac{16}{x} \ge 2\sqrt{16}\).
\(x + \frac{16}{x} \ge 2 \cdot 4\).
\(x + \frac{16}{x} \ge 8\).

Теперь добавим постоянный член \(10\) к обеим сторонам этого неравенства, чтобы получить исходное выражение:
\(x + \frac{16}{x} + 10 \ge 8 + 10\).
\(x + 10 + \frac{16}{x} \ge 18\).

Таким образом, мы установили, что значение выражения \(\frac{x^2 + 10x + 16}{x}\) всегда больше или равно \(18\). Наименьшее значение достигается, когда в неравенстве Коши выполняется равенство, то есть когда \(x = \frac{16}{x}\).

Решим уравнение \(x = \frac{16}{x}\) для нахождения значения \(x\), при котором достигается минимум:
\(x^2 = 16\).
Так как по условию \(x > 0\), то \(x = 4\).

Подставим \(x = 4\) в исходное выражение, чтобы убедиться, что значение равно \(18\):
\(\frac{4^2 + 10(4) + 16}{4} = \frac{16 + 40 + 16}{4} = \frac{72}{4} = 18\).

Ответ: 18.