ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение выражения \(9x^2 + 1\), если \(x > 0\).

Найти наибольшее значение выражения:
\(\frac{x}{9x^2 + 1}\), \(x > 0\);
Согласно неравенству Коши:
\(9x + \frac{1}{x} \ge 2 \sqrt{9x \cdot \frac{1}{x}}\);
\(9x + \frac{1}{x} \ge 2 \cdot 3\);
\(\frac{9x^2 + 1}{x} \ge 6\);
\(\frac{x}{9x^2 + 1} \le \frac{1}{6}\);
Ответ: \(\frac{1}{6}\)

Найти наибольшее значение выражения: \(\frac{x}{9x^2 + 1}\), \(x > 0\).

Согласно неравенству Коши:
Для положительных чисел \(a\) и \(b\) справедливо неравенство \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\), или \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\).

1. Рассмотрим выражение, знаменатель которого \(\frac{9x^2 + 1}{x}\). Это можно переписать как \(9x + \frac{1}{x}\).
Поскольку по условию \(x > 0\), то \(9x\) и \(\frac{1}{x}\) являются положительными числами.
Применим неравенство Коши к членам \(9x\) и \(\frac{1}{x}\):
\(9x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{9x \cdot \frac{1}{x}}\).

2. Упростим выражение под знаком квадратного корня:
\(9x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{9}\).
\(9x + \frac{1}{x} \ge 2 \cdot 3\).
Отсюда получаем:
\(9x + \frac{1}{x} \ge 6\).

3. Перепишем левую часть неравенства \(9x + \frac{1}{x}\) к общему знаменателю:
\(\frac{9x^2 + 1}{x} \ge 6\).

4. Теперь, чтобы найти наибольшее значение исходного выражения \(\frac{x}{9x^2 + 1}\), необходимо взять обратную величину от обеих частей неравенства. При этом знак неравенства изменится на противоположный, так как обе части неравенства положительны (\(\frac{9x^2 + 1}{x} > 0\) и \(6 > 0\)):
\(\frac{x}{9x^2 + 1} \le \frac{1}{6}\).

5. Равенство в неравенстве Коши достигается тогда, когда \(9x = \frac{1}{x}\).
Умножим обе части на \(x\):
\(9x^2 = 1\).
Разделим на 9:
\(x^2 = \frac{1}{9}\).
Извлечем квадратный корень. Поскольку по условию \(x > 0\), берем только положительное значение:
\(x = \sqrt{\frac{1}{9}}\).
\(x = \frac{1}{3}\).
Таким образом, наибольшее значение выражения \(\frac{x}{9x^2 + 1}\) равно \(\frac{1}{6}\) и достигается при \(x = \frac{1}{3}\).

Ответ: \(\frac{1}{6}\)