ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение выражения \(4x^2 + 3x + 1\).

Найти наибольшее значение выражения:
\(\frac{x}{4x^2 + 3x + 1}\)

1) Знаменатель положителен:
\(4x^2 + 3x + 1 > 0\);
\(D = 3^2 — 4 \cdot 4 = 9 — 16 = -7\);
\(D < 0 \text{ и } a > 0\), значит \(x \in R\);

2) Согласно неравенству Коши:
\(4x + \frac{1}{x} \ge 2 \sqrt{4x \cdot \frac{1}{x}}\);
\(4x + \frac{1}{x} \ge 2 \cdot 2\);
\(4x + 3 + \frac{1}{x} \ge 4 + 3\);
\(\frac{4x^2 + 3x + 1}{x} \ge 7\);
\(\frac{x}{4x^2 + 3x + 1} \le \frac{1}{7}\);
Ответ: \(\frac{1}{7}\)

Найти наибольшее значение выражения: \(\frac{x}{4x^2 + 3x + 1}\)

1) Знаменатель положителен:
Для начала рассмотрим знаменатель выражения: \(4x^2 + 3x + 1\). Чтобы определить его знак, мы можем вычислить дискриминант \(D\) соответствующего квадратного уравнения \(4x^2 + 3x + 1 = 0\). Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\). В данном случае \(a = 4\), \(b = 3\), \(c = 1\).
Подставляем значения: \(D = (3)^2 — 4 \cdot (4) \cdot (1) = 9 — 16 = -7\).
Поскольку дискриминант \(D = -7\) отрицателен (\(D < 0\)), квадратное уравнение \(4x^2 + 3x + 1 = 0\) не имеет действительных корней. Это означает, что парабола \(y = 4x^2 + 3x + 1\) не пересекает ось \(x\).
Так как коэффициент при \(x^2\) равен \(a = 4\), что является положительным числом (\(a > 0\)), парабола направлена ветвями вверх. Следовательно, вся парабола лежит выше оси \(x\), и выражение \(4x^2 + 3x + 1\) всегда положительно для всех действительных значений \(x\).
Таким образом, \(4x^2 + 3x + 1 > 0\) для всех \(x \in R\). Это гарантирует, что знаменатель никогда не равен нулю и не меняет знак, что важно при работе с неравенствами.

2) Согласно неравенству Коши:
Для нахождения наибольшего значения выражения \(\frac{x}{4x^2 + 3x + 1}\), мы можем найти наименьшее значение его обратной величины, то есть \(\frac{4x^2 + 3x + 1}{x}\).
Предположим, что \(x > 0\). Если \(x \le 0\), то числитель \(x\) будет неположительным, а знаменатель \(4x^2 + 3x + 1\) всегда положителен, как показано выше. В этом случае все выражение \(\frac{x}{4x^2 + 3x + 1}\) будет неположительным, и его наибольшее значение не может быть положительным. Поскольку ответ \(\frac{1}{7}\) положителен, мы ищем решение для \(x > 0\).
Разделим каждый член числителя на \(x\):
\(\frac{4x^2 + 3x + 1}{x} = \frac{4x^2}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{1}{x} = 4x + 3 + \frac{1}{x}\).
Теперь нам нужно найти минимальное значение выражения \(4x + 3 + \frac{1}{x}\).
Мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM) к положительным членам \(4x\) и \(\frac{1}{x}\) (поскольку \(x > 0\)).
Неравенство AM-GM гласит, что для любых двух положительных чисел \(A\) и \(B\), \(\frac{A+B}{2} \ge \sqrt{AB}\), что эквивалентно \(A+B \ge 2\sqrt{AB}\).
Применяем это к \(A = 4x\) и \(B = \frac{1}{x}\):
\(4x + \frac{1}{x} \ge 2 \sqrt{4x \cdot \frac{1}{x}}\).
Упрощаем выражение под корнем: \(4x \cdot \frac{1}{x} = 4\).
Таким образом, неравенство становится:
\(4x + \frac{1}{x} \ge 2 \sqrt{4}\)
\(4x + \frac{1}{x} \ge 2 \cdot 2\)
\(4x + \frac{1}{x} \ge 4\).
Теперь подставим это обратно в наше выражение для обратной величины:
\(\frac{4x^2 + 3x + 1}{x} = 4x + 3 + \frac{1}{x}\).
Мы знаем, что \(4x + \frac{1}{x} \ge 4\). Добавим 3 к обеим частям этого неравенства:
\(4x + \frac{1}{x} + 3 \ge 4 + 3\)
\(4x + 3 + \frac{1}{x} \ge 7\).
Это означает, что наименьшее значение обратной величины равно 7.
\(\frac{4x^2 + 3x + 1}{x} \ge 7\).
Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем взять обратную величину от обеих частей и изменить направление неравенства:
\(\frac{x}{4x^2 + 3x + 1} \le \frac{1}{7}\).
Равенство в неравенстве AM-GM достигается тогда, когда \(4x = \frac{1}{x}\).
\(4x^2 = 1\)
\(x^2 = \frac{1}{4}\)
\(x = \pm \frac{1}{2}\).
Поскольку мы изначально предположили \(x > 0\), то берем \(x = \frac{1}{2}\).
При \(x = \frac{1}{2}\) значение выражения равно:
\(\frac{\frac{1}{2}}{4(\frac{1}{2})^2 + 3(\frac{1}{2}) + 1} = \frac{\frac{1}{2}}{4(\frac{1}{4}) + \frac{3}{2} + 1} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2} + 1} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{2}} = \frac{1}{7}\).
Таким образом, наибольшее значение выражения \(\frac{x}{4x^2 + 3x + 1}\) равно \(\frac{1}{7}\).

Ответ: \(\frac{1}{7}\)