ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 18.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(a_1 > 0\), \(a_2 > 0\), …, \(a_n > 0\), \(a_1 a_2 \dots a_n = 1\). Докажите неравенство \((1 + a_1)(1 + a_2) \dots (1 + a_n) > 2^n\).

Известно, что: \(a_1 > 0, a_2 > 0, …, a_n > 0, a_1 a_2 … a_n = 1\);
Доказать неравенство: \((1 + a_1)(1 + a_2) … (1 + a_n) \geq 2^n\);

1) Если \(x > 0\), тогда:
\(\frac{1 + x}{2} \geq \sqrt{x}\);
\(1 + x \geq 2\sqrt{x}\);

2) В исходном неравенстве:
\((1 + a_1)(1 + a_2)… (1 + a_n) \geq 2\sqrt{a_1} \cdot 2\sqrt{a_2} \cdot … \cdot 2\sqrt{a_n}\);
\((1 + a_1)(1 + a_2)… (1 + a_n) \geq 2^n \cdot \sqrt{a_1 a_2 … a_n}\);
\((1 + a_1)(1 + a_2)… (1 + a_n) \geq 2^n\);

Неравенство доказано.

Известно, что: \(a_1 > 0, a_2 > 0, …, a_n > 0\), и \(a_1 a_2 … a_n = 1\);
Доказать неравенство: \((1 + a_1)(1 + a_2) … (1 + a_n) \geq 2^n\);

1) Если \(x > 0\), тогда, согласно неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для двух чисел \(1\) и \(x\), мы имеем:
\(\frac{1 + x}{2} \geq \sqrt{1 \cdot x}\);
\(\frac{1 + x}{2} \geq \sqrt{x}\);
Умножая обе части неравенства на \(2\), получаем:
\(1 + x \geq 2\sqrt{x}\);

2) Применяем доказанное в пункте 1 неравенство \(1 + x \geq 2\sqrt{x}\) к каждому члену произведения в исходном неравенстве. Поскольку все \(a_i > 0\), для каждого \(i\) от \(1\) до \(n\) справедливо:
\(1 + a_1 \geq 2\sqrt{a_1}\);
\(1 + a_2 \geq 2\sqrt{a_2}\);
…
\(1 + a_n \geq 2\sqrt{a_n}\);
Перемножая все эти \(n\) неравенств, получаем:
\((1 + a_1)(1 + a_2)… (1 + a_n) \geq (2\sqrt{a_1})(2\sqrt{a_2})… (2\sqrt{a_n})\);
Группируя множители \(2\) и корни, получаем:
\((1 + a_1)(1 + a_2)… (1 + a_n) \geq 2^n \cdot \sqrt{a_1 a_2 … a_n}\);
По условию задачи известно, что \(a_1 a_2 … a_n = 1\). Подставляем это значение в неравенство:
\((1 + a_1)(1 + a_2)… (1 + a_n) \geq 2^n \cdot \sqrt{1}\);
\((1 + a_1)(1 + a_2)… (1 + a_n) \geq 2^n \cdot 1\);
Таким образом, получаем:
\((1 + a_1)(1 + a_2)… (1 + a_n) \geq 2^n\);

Неравенство доказано.